§ 29.11. Другой подход к задаче трех точек Лагранжа.
В качестве первого приложения уравнений (29.10.12) рассмотрим снова задачу, когда 
сохраняют постоянные значения. В этом случае выражения 
остаются постоянными. Будут постоянны также коэффициенты 
в уравнении (29.10.12), причем 
положительны и, кроме того,
Так как 
то
и, следовательно,
Отсюда, учитывая, что 
получаем 
и
Таким образом,
и, следовательно,
Отсюда следует, что либо 
либо 
во все время движения. 1) Если 
то 
и векторы и 
удовлетворяют уравнениям вида
где пир — положительные числа. Каждое 
этих уравнений описывает движение изотропного осциллятора. Поскольку 
и 
постоянно, решение записывается в виде
где векторы 
равны по величине и направлены под прямым углом друг к другу. Если вектор и на вспомогательной плоскости 
обозначить через 
то точка 
будет описывать на этой плоскости окружность с постоянной угловой скоростью 
Аналогично
причем векторы 
равны по величине и направлены под прямым углом друг к другу. Постоянство скалярного произведения 
показывает, что векторы 
«компланарны и 
(при этом предполагается, что вращение от 
происходит в том же направлении, что и вращение от 
Уравнение 
в развернутой форме имеет вид
откуда следует, что 
т. е. треугольник равносторонний. Он вращается с угловой скоростью 
где 
(см. (29.3.7)).
2) Если 
то 
откуда следует, что векторы 
параллельны и частицы расположены на одной прямой. Предположим противное: пусть векторы и 
не параллельны. Тогда, поскольку 
вектор и перпендикулярен к плоскости векторов 
то же самое справедливо и относительно вектора 
Таким образом, учитывая постоянство 
заключаем, что
где 
постоянный скалярный множитель. Следовательно, 
откуда
Но последнее равенство невозможно, поскольку из него следует, что 
а это противоречит условию (29.11.1). Таким образом, векторы 
и коллинеарны 
и частицы располагаются на одной прямой. Соотношение (29.11.12) приводит к квадратному уравнению относительно 
Можно также вывести уравнение пятой степени для величины 
хотя непосредственный метод, изложенный в § 29.3, проще. Предполагая 
(что не нарушает общности, а лишь устанавливает определенный порядок расположения частиц на прямой) и учитывая, что 
получаем
откуда следует, что
и
Коэффициенты в уравнении (29.11.13) имеют теперь следующие выражения:
Подставляя их в уравнение
получаем уравнение седьмой степени относительно к:
Отбрасывая корни 
которые соответствуют случаю совпадения двух частиц, мы приходим снова к уравнению (29.3.14).
