и каждое 
является двузначной функцией от соответствующего 
характер этой зависимости показан на рис. 65. Движение изображающей точки в 
-пространстве совершается внутри прямоугольного параллелепипеда
Рис. 65.
Движение изображающей точки в фазовом пространстве происходит в области, получающейся путем расширения этого параллелепипеда за счет 
вычисляемых по формулам (18.5.2) (рис. 65). Движение этого типа называется квазипериодическим, ниже мы дадим объяснение этому термину. Рассмотрим преобразование лагранжевых координат 
к новым координатам 
определяемым уравнениями
или, более точно, уравнениями
Лагранжева координата 
лежит в интервале 
и при преобразовании координат предполагается, что каждое 
совершает колебание между пределами 
(как в действительном движении). Радикал 
берется положительным, если 
возрастает, и отрицательным, если 
убывает. Таким образом, 
оказывается неоднозначной функцией от 
и имеет дискретную систему значений, зависящую от траектории, по которой изображающая точка переходит из положения а в положение 
Рис. 66.
Разберем простой пример. Положим 
и рассмотрим четыре траектории, соединяющие точки 
(рис. 66). Вдоль каждой из них 
возрастает от 
до 
Вдоль кривых 
возрастает монотонно от 
до 
и значение 
для них одинаково. Но для кривой 3 (где 
сначала возрастает от 
а затем убывает до 
отлично, как и для кривой 4 (где 
сначала возрастает до 
затем убывает до 
после чего снова возрастает до 
Предположим теперь, что координата 
проходит полный цикл своих значений и возвращается в свою первоначальную точку, в то время как остальные координаты 
остаются неизменными. В этом случае 
получает приращение
которое можно записать также в форме
Таким образом, если 
получают приращения соответственно 
то мы возвращаемся к исходной точке 
-мерного параллелепипеда с теми же самыми скоростями. Функции
имеют свойство
Всего имеется 
таких систем периодов. Предположим, что эти системы линейно независимы, т. е. 
Тогда две точки пространства 
будут эквивалентны одной и той же точке пространства 
и даже одной и той же точке фазового пространства, если их относительные положения описываются одним из векторов 
(с составляющими 
Векторы 
линейно независимы. Более того, две точки 
-пространства эквивалентны одной и той же точке фазового пространства, если положение точки 
относительно 
описывается вектором 
где 
целые числа, положительные, отрицательные или нули.
Таким образом, можно разбить 
-пространство на периодические ячейки с узлами, определяемыми векторами 
для всех целых значений 
Ячейки обладают тем свойством, что конгруэнтные точки в двух любых ячейках представляют одну и ту же конфигурацию и одну и ту же скорость динамической системы. Соотношение между переменными 
и 
не является симметричным; так, например, если 
возрастает от 
до 
и затем убывает до 
(в то время как остальные координаты 
остаются неизменными), то в результате мы попадаем в другую точку 
-ячейки, представляющую ту же 
-точку, но с другой скоростью. Действительно, каждая точка параллелепипеда в 
-пространстве соответствует 
точкам в 
-ячейке, а каждая из этих 
-точек представляет одну из 
возможных систем скоростей. Мы видим, что 
-ячейка дает более точное представление движения, нежели параллелепипед в 
-пространстве, поскольку каждая точка в ней представляет как определенную конфигурацию системы, так и определенную скорость ее.
Так как конгруэнтные точки в различных 
-ячейках эквивалентны, то естественно сосредоточить внимание на рассмотрении одной стандартной ячейки и каждой точке 
-пространства поставить в соответствие конгруэнтную ей точку в стандартной ячейке. Будем считать, что одна из вершин стандартной ячейки расположена в начале координат (соответствующем точке а в 
-пространстве), а в качестве ребер, проходящих через эту вершину, возьмем векторы 
Поясним сказанное простым примером, когда 
Движение изображающей точки в плоскости 
ограничено прямоугольником (рис. 49), и соответствующую изображающую точку в плоскости 
можно перенести в стандартную ячейку. Движение в плоскости 
описывается очень просто: изображающая точка движется с единичной скоростью параллельно оси 
и различные отрезки этой линии нужно заменить на конгруэнтные отрезки в стандартной ячейке (рис. 67). Вообще говоря, они не перекрываются и с увеличением числа отображаемых отрезков покрывают стандартную ячейку все более и более плотно. Но если отношение 
есть число рациональное, то с течением времени отрезки будут проходиться повторно. В этом случае траектория в стандартной 
-ячейке будет состоять 
конечного числа отрезков, проходимых снова и снова; траектория в параллелепипеде 
-пространства будет замкнутой, периодической.
Рис. 67.
Позже мы получим общее условие периодичности, и тогда данный пример можно будет рассматривать как частный случай.
не обращаются в нуль, а функции 
непрерывны. Каждое 
в начальный момент лежит между простыми вещественными нулями 
функции 
(предполагается, что 
и колебания 
происходят между пределами 
Возьмем 
в качестве нижнего предела интегрирования в формуле (18.2.19) для 
. В течение движения будем иметь
возрастает, и отрицательным, когда 
убывает. Согласно (18.2.22) имеем
