§ 16.12. Стержень на вращающейся плоскости.

В качестве следующего примера рассмотрим систему, исследовавшуюся нами в § 8.11. Стержень движется по гладкой плоскости, которая равномерно вращается вокруг горизонтальной оси, фиксированной в этой плоскости. Эта задача проще решается с помощью уравнений Лагранжа, но интересно также решить ее методом Гамильтона — Якоби. Согласно (8.11.1) имеем

Дифференциальное уравнение Гамильтона имеет вид

Выражение

есть полный интеграл, если функция удовлетворяет уравнению

а функция уравнению

Последнее имеет решение вида

где функции от удовлетворяющие уравнениям

и

Таким образом,

и полный интеграл имеет вид

(мы здесь воспользовались обозначениями § 16.9). Решение задачи Лагранжа дается уравнениями

Уравнение (16.12.11) приводит, как и следовало ожидать, к равномерному движению по а уравнение (16.12.13) приводит к соотношению

откуда получаем

в полном согласии с (8.11.2). Остается найти зависимость от t. Из уравнения (16.12.12) получаем

что эквивалентно (8.11.3).