Глава II. МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

§ 2.1. Система двух материальных точек.

В предыдущей главе мы рассмотрели движение материальной точки, и теперь казалось бы естественным, следуя историческому развитию механики, перейти к рассмотрению движения твердого тела; именно такого порядка обычно и придерживаются. В нашем курсе аналитической механики мы, однако, отступим от сложившейся традиции и от движения материальной точки перейдем непосредственно к движению механической системы. Твердое тело есть, разумеется, частный случай механической системы, и в дальнейшем мы его часто будем использовать в качестве примера.

Основные принципы механики были даны Ньютоном для материальной точки в его знаменитом сочинении «Математические начала натуральной философии» в 1687 г. Систематическое же изучение динамики твердого тела началось приблизительно через полстолетия. В классической механике под твердым телом понимают совокупность материальных точек, укрепленных на жестком невесомом «каркасе». Аналогично, под механической системой в общем случае понимают любую совокупность материальных точек, находящуюся под действием заданных сил и подчиненную различного рода механическим связям.

Начнем с простого примера. Пусть система состоит из двух материальных точек соединенных легким стержнем длиной а, причем а есть заданная функция времени; функция принадлежит классу Для упрощения формул примем, что система совершает движение в плоскости так что мы будем иметь дело с пространством двух измерений. Пусть массы частиц равны а заданные силы равны кроме того, на частицы действует реакция стержня. Координаты частиц удовлетворяют уравнению связи

а возможные перемещения — уравнению

Система имеет три степени свободы.

Рассмотрим теперь уравнения движения

Реакции связи обусловлены усилием в стержне. Принимая его равным находим

Сумма работ реакций связи равна нулю на любом перемещении удовлетворяющем условию

Такие перемещения называются виртуальными (см. § 1.6). Физически они означают перемещения точек при неизменной длине стержня.

Очевидно, что в общем случае движение может быть определено до конца. Система пяти дифференциальных уравнений

достаточна для определения как функций t.

Мы видим, что картина та же, что в § 1.6. Силы реакции не совершают работы на любом виртуальном перемещении, и движение системы при действии двух систем сил (заданных сил и реакций связи) происходит так, что удовлетворяются уравнения связи.

Другим примером системы из двух точек, отличным от только что рассмотренного, является система из двух свободных точек, совершающая плоское движение под действием различных сил, включая силы взаимного притяжения. В этом случае связи отсутствуют и все силы, в том числе силы взаимного притяжения, относятся к заданным силам. Такая система имеет четыре степени свободы.

Обе системы являются голономными. Вернемся теперь к задаче о частицах, соединенных стержнем, и ограничимся рассмотрением того случая, когда длина стержня а остается постоянной. Это — простейшая модель твердого тела, состоящего всего из двух частиц. Предположим, что связь такова, что скорость частицы направлена в каждый момент времени вдоль стержня, так что реакция связи, действующая на перпендикулярна К стержню. (Такая связь приближенно реализуется в планиметре, где колесико с острой кромкой может катиться по листу бумаги, но не может скользить в сторону.) В этом случае имеем два уравнения связи:

Уравнение Пфаффа (2.1.8) неинтегрируемо, и система неголономна.

Система имеет две степени свободы, но тем не менее при движении из данной точки достижимо трехпараметрическое множество положений. Действительно, любое конечное положение может быть достигнуто из любого начального. Доказательство легко получается из простых геометрических соображений. С другой стороны, положение системы можно характеризовать тремя переменными где

есть тангенс угла между осью и стержнем Уравнение связи Пфаффа принимает вид

Такая форма уравнения связи уже рассматривалась в § 1.8, и мы видели там, что любое конечное положение системы может быть достигнуто из любого начального положения.