§ 15.2. Непосредственные выводы.

Шестая форма (15.1.4) основного уравнения была получена нами из уравнений. Лагранжа; теперь решим обратную задачу — выведем уравнения Лагранжа из уравнения (15.1.4). Так как уравнение (15.1.4) справедливо для любых значений то

Отсюда

Представим теперь уравнение (15.1.4) в форме

Обозначим через функцию выраженную через (§ 10.13). Уравнения, определяющие

линейны по Из них можно найти как функции от причем зависимость от линейна. Исключив затем в выражении получим функцию . В исходном уравнении (15.1.4) вариации были произвольны, поэтому произвольны будут и вариации в уравнении

Следовательно,

Мы получили уравнения Гамильтона.

Как уже отмечалось (§ 10.13), уравнений (15.2.5) образуют систему уравнений первого порядка вида

где — матрицы-столбцы, или векторы, с составляющими. Составляющая вектора X зависит от возможно, от t. Функция является новой описывающей (дескриптивной, descriptive) функцией механической системы, т. е. функцией, по которой могут быть построены уравнения движения, так что она неявно содержит в себе полное описание возможных движений. Некоторые обобщения уравнений (15.2.5) уже рассматривались в § 10.13, а явное выражение для было получено в § 10.14.

Пространство измерений, точки которого определяются координатами называется фазовым пространством, движение механической системы можно рассматривать как движение изображающей точки в фазовом пространстве. Структуру фазового пространства можно представить как -мерное евклидово пространство с прямоугольными координатами

Функции Лагранжа и Гамильтона не являются единственно возможными дескриптивными функциями, хотя они и являются, конечно, наиболее важными. Из шестой формы основного уравнения можно получить и другие формы уравнений движения. Так, например, уравнение можно написать в виде

Если функция выражена через мы получаем уравнения движения

типа уравнений Лагранжа; в самом деле, из них следует, что

Процесс построения функции X хотя теоретически и возможен, но для практических целей непригоден. В самом деле, требуется решить уравнения

относительно (выраженных через а это возможно лишь в очень ограниченном числе простых случаев: уравнения (15.2.9), как правило, нелинейны относительно Примером, когда этот процесс удается провести, может служить задача о малых колебав ниях. Если

то соответствующая функция X имеет вид

4 и уравнения движения (15.2.7) оказываются эквивалентными уравнениям Лагранжа.

Теоретически можно построить также аналогичную дескриптивную функцию, зависящую от Напишем уравнение (15.1.4) в форме

Если через обозначить функцию выраженную через то уравнения движения запишутся в виде

В этом случае нужно исключить выразив их через с помощью уравнений

что практически в большей части случаев опять-таки оказывается невыполнимым.