§ 22.10. Конкретные примеры.

Прежде чем переходить к доказательству эргодической теоремы, приведем несколько примеров.

Начнем с простого случая, когда изображающая точка движется по окружности по направлению часовой стрелки с постоянной (единичной) угловой скоростью. 1) Если t изменяется непрерывно и в качестве области а берется дуга с углом раствора (3, то справедливость теоремы Пуанкаре (теоремы возвращения) очевидна. Далее, если есть доля интервала времени от до в течение которого изображающая точка находится в области а, то отношение очевидно, стремится к пределу и этот предел не зависит от положения начальной точки А на окружности. 2) Если мы имеем дискретную последовательность моментов времени (§ 22.7) и обозначим через число точек лежащих в области а, то отношение при будет стремиться к тому же пределу при условии, что отношение есть число иррациональное. Действительно, при этом условии точки отстоящие на угловых расстояниях от точки А, стремятся к равномерному распределению по окружности. Предел не зависит ни от положения точки А на окружности, ни от величины основного интервала х, если только х не является соизмеримым с

Рис. 100.

Рассмотрим теперь простой пример гармонического осциллятора, о котором уже шла речь в конце § 22.8. Пусть множеством будет круг радиуса с центром в точке О, и пусть точка внутри этого круга. Проходящая через А характеристика является окружностью. Доля времени, в течение которого изображающая точка находится в замкнутой области а, стремятся к пределу где — угол, стягиваемый дугой окружности, проходящей через точку А (рис. 100). Предел, как мы видели, не зависит от положения точки А на характеристике. Результат останется без изменений, если взять предел где число точек лежащих в области а, при условии, что отношение есть число иррациональное. Результат не зависит ни от положения точки А на характеристике, ни от величины интервала

Следует отметить, однако, что в этом случае предел для различных характеристик имеет различные значения: он не остается постоянным во всей области

Предположим теперь, что для рассматриваемой системы функция не является характеристической функцией области а. Положим равной Если точка А имеет координаты то точка будет определяться координатами

и среднее значение функции на характеристике будет равно

При эта величина стремится к Мы вновь обнаруживаем, что предел один и тот же для всех положений точки А на характеристике, но не одинаков во всей области Результат не изменится, если взять дискретные точки среднее значение в этих точках стремится к тому же самому пределу если только не равно целому кратному .