§ 26.7. Замена независимой переменной.
Важное и существенное свойство вариационных принципов заключается в том, что их легко можно выразить в любых выбранных координатах. Это обстоятельство уже отмечалось нами ранее (в § 6.3) при выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. Обобщение принципа Гамильтона (26.6.2) дает возможность пойти дальше в этом направлении и произвести замену независимой переменной. Введем вместо t новую независимую переменную 0, связанную с t соотношением
в котором и обозначает заданную положительную функцию от 
принадлежащую к классу Переменную 
можно считать новым (искусственным) временем, измеряемым по часам, связанным с изображающей точкой в 
-пространстве, скорость хода которых является заданной функцией положения в пространстве. С понятием искусственного времени мы уже встречались в §§ 17.3, 18.1 и 18.3. Из принципа Гамильтона в его обобщенной форме (26.6.2) следует, что
причем концевые точки в 
-пространстве фиксированы, а концевые значения 
свободны. Поэтому, если мы выразим функцию 
через 
где 
то сможем получить уравнения движения с 
в качестве независимой переменной. Этими уравнениями будут уравнения Эйлера — Лагранжа вариационной задачи (26.7.2) или, что то же, уравнения Лагранжа для системы с функцией Лагранжа
где через 
обозначена функция 
записанная в переменных 
вместо 
При этом, однако, следует помнить, что не все решения этих уравнений представляют возможные движения, а лишь те из них, для которых 
Уравнения определяют траекторию в 
-пространстве, но не устанавливают непосредственно связи между положением точки на траектории и временем. Найдем выражение для функции А. Напишем, как обычно,
где (см. (6.1.6))
и (см. (6.1.7))
Выражения 
в переменных 
записываем точно таким же образом:
Имеем
Теперь находим
и окончательно
Следует иметь в виду, что только такие движения, для которых
отвечают динамической задаче. Если система неголономна, то в уравнения движения войдут I множителей X, как это имелч место в (6.6.4). В простейшем и наиболее распространенном случае натуральной системы
множители 
не появляются и в выражения (26.7.7) и (26.7.8) не входят слагаемые 
так что
и ограничение (26.7.8) принимает вид
Интересно непосредственно убедиться в том, что уравнениям движения, полученным с помощью функции (26.7.7), действительно удовлетворяют движения системы с энергией 
Имеем
Отсюда
так как коэффициент при равен нулю в силу (26.7.8). Окончательно получаем
Правая часть этого равенства обращается в нуль, поскольку движение удовлетворяет уравнениям Лагранжа.
