§ 17.4. Классификация траекторий.

Мы видели, что общее представление о виде траекторий в пространстве х, у можно получить, изучая вещественные нули функций Если начальное значение х лежит между двумя последовательными простыми нулями функции то в общем случае движение представляет собой либрацию между и если же х лежит в окрестности двойного нуля функции то в общем случае мы имеем лимитационное движение. Аналогичные замечания можно сделать и в отношении другой лагранжевой координаты у. Исключение составляет случай, когда интеграл сходится.

Остановимся на одном обстоятельстве, требующем пояснения. Функции зависят лишь от двух постоянных: между тем общее решение уравнений движения Лагранжа или Гамильтона для системы с двумя степенями свободы должно содержать четыре постоянные. Выясним значение двух опущенных постоянных, а также установим, почему они играют второстепенную роль в теории классификации траекторий.

Значение одной из этих постоянных очевидно: это — временная постоянная, зависящая от выбранного начала отсчета времени. Если функции удовлетворяют уравнениям движения, то этим же уравнениям удовлетворяют и функции и значение не влияет ни на траекторию, ни на скорость, с какой она проходится. Вторая опущенная постоянная представляет собой фазовую постоянную; она появляется при интегрировании уравнения, определяющего траекторию,

Значение этой постоянной оказывает влияние на форму траектории. (В самом доле, в общем случае при заданных через соответствующую Начальную точку х, у проходят две траектории. Пусть, например, и а выбраны так, что Являются последовательными простыми вещественными нулями функции причем между являются последовательными простыми вещественными нулями функции причем между Тогда, начиная с любой точки расположенной внутри прямоугольника

мы получаем две проходящие через эту точку траектории, удовлетворяющие уравнению (17.4.1). Если бы знаменатели были однозначными функциями, то существовала бы всего одна такая траектория. Но мы имеем дело здесь с -пространством, а не с фазовым пространством. Через данную начальную точку проходит бесконечное число траекторий, но лишь две из них отвечают заданным значениям Общий характер траектории определяется, однако, лишь нулями функций т. е. постоянными Поэтому эти две постоянные играют основную роль в вопросе о классификации траекторий.

Рассмотрим сначала движение по одной из координатных кривых, скажем по кривой Такая траектория, как можно ожидать, представит особый интерес, так как выбранные координаты таковы, что система обладает ясно выраженным свойством разделимости. Для движений по кривой а нам нужно, чтобы обращались в нуль при а это требует, чтобы а было двукратным нулем функции Из формул

(формула для справедлива и тогда, когда видно, что при функции обращаются в нуль. Поэтому, если координатная кривая является траекторией, то значения должны быть выбраны так, чтобы функция имела двукратный нуль. Для этого нужно, чтобы удовлетворяли определенному соотношению вида

Классификацию траекторий в пространстве х, у можно теперь провести, пользуясь вспомогательной диаграммой, в которой в качестве осей взяты Выбирая определенную точку на этой диаграмме, мы находим соответствующие функции . И хотя, как мы видели, это не определяет единственной траектории, однако все полученные таким образом траектории относятся к одному и тому же типу (или типам), с одними и теми же пределами либрации (если движение является либрационным). Условие, что функция имеет двукратный нуль, выражается кривой или кривыми вида

Их называют критическими кривыми; существуют также критические кривые, соответствующие совпадающим нулям функции Этими критическими кривыми плоскость разбивается на ряд областей, и траектории, представленные точками одной и той же области, принадлежат к одному и тому же общему типу кривых, хотя пределы либрации (в случае либрационного движения) для различных точек области будут различны. Тип траекторий изменяется лишь с переходом в другую область, т. е. при пересечении критической кривой.

Некоторые из областей могут не представлять интереса с точки зрения динамики, если точкам а в них не соответствуют реальные траектории. Эти исключаемые области характеризуются тем, что значения а в них таковы, что функция отрицательна при всех значениях . В § 17.6 мы укажем еще на один случай возникновения таких областей.