§ 15.8. Свойства главной функции.

Знание функции имело бы огромное значение для изучения динамической системы, если бы ее можно было по интуиции или изобретательности составить без того, чтобы сначала знать интегралы уравнений движения Лагранжа. Рассмотрим, например, соотношения

Они определяют в зависимости от (и параметров Соотношения (15.8.1) представляют собой интегралы уравнений Лагранжа и определяют движение в -пространстве. Они дают нам, таким образом, общее решение задачи Лагранжа. Следует подчеркнуть, что уравнения (15.8.1), дают действительное явное выражение движения в -пространстве, а не являются

лишь новой формой дифференциальных уравнений для определения этого движения. Аналогично, соотношения

выражают через (а также Две системы (15.8.1) и (15.8.2) определяют как функции (и параметров Они представляют собой интегралы уравнений Гамильтона и определяют движение системы в фазовом пространстве. Таким образом, они дают нам общее решение задачи Гамильтона.

Отметим еще некоторые свойства функции

1) Если функция не зависит явно от то входят в выражение для лишь в комбинации При этом (как нам уже известно из § 10.14) и формула (15.5.11) принимает следующий вид:

2) Функция имеет непрерывные вторые производные, и определитель

или, короче, определитель не обращается тождественно в нуль. В самом деле, в противном случае существовало бы функциональное соотношение, связывающее - и (а также Это указывало бы на зависимость между (а также и ), что противоречит предположению о независимости этих переменных.

3) Теорема Лиувилля. Якобиан

равен (плюс) единице. Это означает, что преобразование от осуществляемое интегралами уравнений Гамильтона (при фиксированных обладает свойством сохранения протяженности (объема, меры) фазового пространства.

Для доказательства теоремы Лиувилля выразим все величины через промежуточные переменные Записывая определитель (15.8.5) сокращенно как

будем иметь

Здесь обозначает определитель, в котором элемент строки и столбца равен Но правая часть равенства (15.8.6) равна

что и требовалось доказать.

4) Соотношения (15.8.1), (15.8.2), дающие решение задачи Гамильтона, выражают через параметров Однако эта система параметров не всегда является наиболее удобной. Предположим, что мы хотим перейти к новой системе параметров представляющих собой независимые функции от с непрерывными первыми производными и удовлетворяющих условию

(знак суммирования для краткости опущен). Такой переход от называется однородным контактным преобразованием. В дальнейшем нам часто будет встречаться преобразование этого типа.

Выразим теперь функцию через переменных

Согласно формуле (15.5.11) имеем

Из формулы (15.8.9) можно получить результаты, аналогичные тем, что были получены из формулы (15.5.11). Уравнения

дают решение задачи Лагранжа. Они позволяют выразить через Присоединяя уравнения

получаем две системы (15.8.10) и (15.8.11), дающие решение задачи Гамильтона. Они позволяют выразить через

Описанный выше процесс преобразования несколько более тонкий, чем это может показаться на первый взгляд. В самом деле, чтобы выразить через необходимо воспользоваться уравнениями

Заметим попутно, что функций в правой части (15.8.12) нельзя задавать произвольно: они должны удовлетворять определенным условиям, которые будут указаны в дальнейшем. С помощью уравнений (15.8.12), (15.8.13) образуем функцию перейдя в выражении для от переменных к переменным а. Для каждого нужно написать формулы перехода:

первый взгляд может показаться странным, что производные дают одно и то же выражение для Решение этого парадокса найти нетрудно: оно связано с условием (15.8.7). Имеем

Но

в силу (15.8.7) сводится просто поэтому коэффициент при каждом дифференциале в (15.8.16) тождественно равен нулю. Таким образом, кажущееся противоречие исчезает.

5) Преобразование сохраняет меру:

В самом деле, при переходе от мера сохраняется; это доказывается аналогично тому, как это делалось выше в п. 3. Этим же свойством обладает преобразование при фиксированных значениях Поэтому произведение этих двух преобразований, т. е. переход от к также является преобразованием, при котором сохраняется мера.

6) Периодические траектории. Рассмотрим теперь систему, для которой существует семейство периодических траекторий.

В некоторых системах все траектории являются периодическими. Например, как уже отмечалось в гл. IX, если мы имеем колебательную систему, для которой отношение двух любых периодов есть число рациональное, все движения являются периодическими. Обозначим периоды свободных колебаний через Если существуют целые положительные числа такие, что

то все движения будут периодическими с периодом Это утверждение справедливо независимо от начальных условий. Простым примером может служить изотропный осциллятор. В других системах периодическими являются все траектории, которые начинаются в некоторой области фазового пространства. Если, например, частица движется к центру под действием ньютоновского притяжения то траектория, начинающаяся в момент из точки х, фазового пространства, будет периодической, если начальная точка лежит в области

В этом примере (ньютоновская орбита) период зависит от начальных условий, тогда как в предыдущем примере (колебательная система) он от них не зависел.

Имеются системы, обладающие как периодическими, так и непериодическими траекториями.

Рассмотрим натуральную систему, обладающую однопараметрическим семейством периодических траекторий. Построим функцию для одной из них, т. е. для какой-либо замкнутой траектории. Так как начальная и конечная точки в данном случае совпадают, то равенство (15.5.2) принимает вид

где период. Но функция фактически не может зависеть от поскольку ничто не изменится, если в качестве начальной будет взята какая-либо другая точка замкнутой траектории; поэтому

Перейдем теперь к соседней кривой семейства периодических траекторий, тогда формула (15.5.11) запишется в виде

где есть (постоянное) значение на рассматриваемой периодической траектории. Таким образом,

Мы получили, что в семействе периодических траекторий постоянная энергии зависит только от периода а.