Аналитическая динамика

Научная библиотека

Научная библиотека

Аналитическая динамика

Аналитическая динамика. Парс Л. А., Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1971 г. - 636 с.

В содержание книги включен не только традиционный материал курсов аналитической механики. Значительное место уделено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о разделяемости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении; нашло свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы.

Оглавление

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Глава I. ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 1.1. Свободная материальная точка.
§ 1.2. Прямолинейное движение материальной точки в силовом поле.
§ 1.3. Либрационное движение.
§ 1.4. Заданная сила не может быть функцией от ускорения.
§ 1.5. Несвободная материальная точка (случай I).
§ 1.6. Несвободная материальная точка (случай II).
§ 1.7. Несвободная материальная точка (случай III).
§ 1.8. Голономные и неголономные системы.
Глава II. МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
§ 2.1. Система двух материальных точек.
§ 2.2. Система материальных точек.
§ 2.3. Катастатическая система.
§ 2.4. Реакции связей.
§ 2.5. К понятию о механической системе.
Глава III. ПЕРВАЯ ФОРМА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
§ 3.2. Сохранение импульса.
§ 3.3. Катастатическая система и первая форма уравнения энергии.
§ 3.4. Консервативные силы и вторая форма уравнения энергии.
§ 3.5. Третья форма уравнения энергии.
§ 3.6. Сохранение энергии.
§ 3.7. Принцип Гамильтона.
§ 3.8. Варьированный путь.
§ 3.9. Распределенные системы.
Глава IV. ВТОРАЯ И ТРЕТЬЯ ФОРМЫ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
§ 4.1. Вторая форма основного уравнения.
§ 4.2. Третья форма основного уравнения.
§ 4.3. Принцип Гаусса наименьшего принуждения.
§ 4.4. Приложения принципа Гаусса.
§ 4.5. Физический смысл принципа Гаусса.
Глава V. ЛАГРАНЖЕВЫ КООРДИНАТЫ
§ 5.2. Некоторые классические задачи.
§ 5.3. Сферический маятник.
§ 5.4. Задача двух тел.
§ 5.5. Уравнение Кеплера.
§ 5.6. Столкновение.
§ 5.7. Лагранжевы координаты для голономной системы.
§ 5.8. Лагранжевы координаты для неголономной системы.
§ 5.9. Качение тела.
§ 5.10. Достижимость.
§ 5.11. Варьированный путь в принципе Гамильтона.
§ 5.12. Обзор полученных результатов.
Глава VI. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
§ 6.1. Четвертая форма основного уравнения. Лагранжевы координаты.
§ 6.2. Уравнения Лагранжа.
§ 6.3. Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона.
§ 6.4. Форма уравнений Лагранжа.
§ 6.5. Консервативные системы и другие системы, обладающие потенциальной функцией.
§ 6.6. Функция Лагранжа.
§ 6.7. Интеграл Якоби.
§ 6.8. Явная форма интеграла Якоби.
§ 6.9. Об одной ошибке.
§ 6.11. Циклические координаты.
§ 6.12. Инвариантность уравнений Лагранжа.
Глава VII. ТЕОРИЯ ПОВОРОТОВ
§ 7.2. Теорема Эйлера.
§ 7.3. Матрица l и вектор Т.
§ 7.4. Обобщение теоремы Эйлера.
§ 7.5. Теорема Шаля.
§ 7.6. Формула поворота.
§ 7.7. Полуобороты и отражения.
§ 7.8. Кватернионная форма записи формулы поворота.
§ 7.9. Сложение вращений.
§ 7.10. Угловая скорость.
§ 7.11. Ориентация твердого тела в пространстве. Углы Эйлера.
§ 7.12. Ориентация твердого тела в пространстве. Углы …
§ 7.13. Повороты около движущихся осей.
§ 7.14. Повороты около неподвижных осей.
§ 7.15. Определение угловой скорости с помощью матриц
§ 7.16. Составляющие вектора угловой скорости.
Глава VIII. ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
§ 8.1. Дифференциальные уравнения.
§ 8.2. Формулы ускорения в ортогональных координатах.
§ 8.3. Обезьяна и противовес.
§ 8.4. Кинетическая энергия твердого тела.
§ 8.5. Задача о движении в двух измерениях.
§ 8.6. Вращающийся волчок; основные уравнения.
§ 8.7. Вращающийся волчок; другое решение.
§ 8.8. Гироскопические силы.
§ 8.9. Вращающийся волчок; исследование движения.
§ 8.10. Численный пример.
§ 8.11. Стержень во вращающейся плоскости.
§ 8.12. Качение диска.
Глава IX. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
§ 9.1. Колебания около положения равновесия.
§ 9.2. Теория преобразования к главным координатам.
§ 9.3. Приложение теории.
§ 9.4. Наложение связи.
§ 9.5. Принцип Релея.
§ 9.6. Устойчивость установившегося движения.
§ 9.7. Колебания в окрестности установившегося движения.
§ 9.8. Гироскоп Фуко.
§ 9.9. Спящий волчок.
§ 9.10. Вынужденные колебания.
Глава X. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
§ 10.2. Исключение одной координаты.
§ 10.3. Гироскопическая устойчивость.
§ 10.4. Явное выражение для R в общем случае.
§ 10.5. Вращающийся волчок.
§ 10.6. Линейные члены в функции L.
§ 10.7. Движение относительно подвижной системы отсчета.
§ 10.8. Движение частицы вблизи заданной точки на поверхности Земли.
§ 10.9. Маятник Фуко.
§ 10.10. Движение снаряда.
§ 10.11. Диссипативная функция Релея.
§ 10.12. Гироскопическая система с диссипацией.
§ 10.13. Уравнения Гамильтона.
§ 10.14. Уравнение энергии и явное выражение для Н.
§ 10.15. Главный триэдр.
Глава XI. ПЕРЕМЕННАЯ МАССА
§ 11.1. Частица переменной массы. Функция Лагранжа.
§ 11.2. Кинетическая энергия.
§ 11.3. Функция Гамильтона.
§ 11.4. Движущийся электрон.
§ 11.2. Кинетическая энергия.
§ 11.5. Электрон в электромагнитном поле.
Глава XII. УРАВНЕНИЯ ГИББСА-АППЕЛЯ
§ 12.3. Пятая форма основного уравнения.
§ 12.5. Уравнения Гиббса — Аппеля.
Глава XIII. ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИББСА-АППЕЛЯ
§ 13.2. Аналог теоремы Кёнига.
§ 13.3. Плоское движение.
§ 13.4. Движение твердого тела.
§ 13.5. Шар на вращающейся плоскости.
§ 13.6. Шар на вращающейся наклонной плоскости.
§ 13.7. Качение шара по неподвижной поверхности.
§ 13.8. Вращающийся волчок.
§ 13.9. Качение монеты (тонкого диска).
§ 13.10. Уравнения Эйлера.
§ 13.11. Свободное тело; случай осевой симметрии.
§ 13.12. Свободное тело; общий случай.
§ 13.13. Ориентация свободного тела.
§ 13.14. Теоремы Пуансо и Сильвестра.
§ 13.15. Качение эллипсоида по шероховатой горизонтальной плоскости.
§ 13.16. Устойчивость вращающегося эллипсоида.
Глава XIV. ТЕОРИЯ УДАРА
§ 14.1. Ударный импульс.
§ 14.2. Импульсные связи.
§ 14.3. Движение системы, на которую действуют ударные импульсы. Основное уравнение теории удара.
§ 14.4. Катастатическая система.
§ 14.5. Принцип наименьшего принуждения в теории удара.
§ 14.6. Катастатическая система. Теорема о суперпозиции.
§ 14.7. Катастатическая система. Шесть теорем об энергии.
§ 14.8. Лагранжевы координаты и квазикоординаты.
§ 14.9. Лагранжева форма уравнений движения в теории удара.
§ 14.10. Другие доказательства теорем об энергии.
§ 14.11. Приложения теории удара.
§ 14.12. Импульсивное движение непрерывных систем.
Глава XV. ШЕСТАЯ ФОРМА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
§ 15.1. Шестая форма основного уравнения.
§ 15.2. Непосредственные выводы.
§ 15.3. Функция Рауса.
§ 15.4. Теорема …
§ 15.5. Главная функция.
§ 15.6. Примеры использования главной функции.
§ 15.7. Доказательство равенства …
§ 15.8. Свойства главной функции.
§ 15.9. Примеры непосредственного вычисления главной функции.
Глава XVI. ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА—ЯКОБИ
§ 16.1. Уравнение Гамильтона в частных производных.
§ 16.2. Теорема Гамильтона — Якоби (доказательство первое).
§ 16.3. Теорема об эквивалентности.
§ 16.4. Теорема Гамильтона — Якоби (доказательство второе).
§ 16.5. Замечания по теореме Гамильтона — Якоби.
§ 16.6. Однородное поле.
§ 16.7. Гармонический осциллятор.
§ 16.8 Частица в переменном поле At.
§ 16.9. Центральная орбита.
§ 16.10. Сферический маятник.
§ 16.11. Вращающийся волчок.
§ 16.12. Стержень на вращающейся плоскости.
§ 16.13. Электрон в центральном поле.
§ 16.14. Пфаффова форма
Глава XVII. СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 17.2. Условия разделимости переменных в системах с двумя степенями свободы.
§ 17.3. Изучение движения системы.
§ 17.4. Классификация траекторий.
§ 17.5. Устойчивость.
§ 17.6. Приложения теории.
§ 17.7. Притяжение к центру по закону …
§ 17.8. Притяжение к центру по закону …
§ 17.9. Ньютоновское притяжение и однородное поле.
§ 17.10. Два неподвижных притягивающих центра
§ 17.11. Ограниченные траектории.
§ 17.12. Уравнения орбит.
§ 17.13. Неограниченные орбиты.
§ 17.14. Системы, допускающие разделение переменных более чем одним способом.
Глава XVIII. СИСТЕМЫ С n СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 18.1. Система Лиувилля
§ 18.2. Теорема Штеккеля.
§ 18.3. Исследование интегралов.
§ 18.4. Дополнительные замечания к теореме Штеккеля.
§ 18.5. Квазипериодические движения.
§ 18.6. Угловые переменные.
§ 18.7. Стандартный куб.
§ 18.8. Постоянные …
§ 18.9. Соотношения между q и v.
§ 18.10. Малые колебания.
§ 18.11. Сферический маятник.
§ 18.12. Задача двух тел.
§ 18.13. Интерпретация параметров a и b.
§ 18.14. Выражение r как функции от t.
§ 18.15. Угловые переменные.
§ 18.16. Постоянные …
§ 18.17. Возмущения.
§ 18.18. Неортогональные и ненатуральные разделимые системы.
Глава XIX. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ, ДВИЖЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ
§ 19.2. Движение частицы по прямой.
§ 19.3. Система с одной степенью свободы.
§ 19.4. Движение в окрестности особой точки. Линейное приближение.
§ 19.5. Устойчивость равновесия. Асимптотическая устойчивость и неустойчивость.
§ 19.6. Движение в окрестности особой точки. Общая теория.
§ 19.7. Движение в окрестности узла.
§ 19.8. Движение в окрестности седловой точки.
§ 19.9. Движение в окрестности фокуса.
§ 19.10. Движение в окрестности центра.
§ 19.11. Связь линейного приближения с общей теорией.
Глава XX. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
§ 20.2. Положительное предельное множество.
§ 20.3. Отрезок без контакта.
§ 20.4. Отрезок без контакта, проходящий через точку множества A.
§ 20.5. Структура множества A.
§ 20.6. Теорема Пуанкаре — Бендиксона.
§ 20.7. Приложение к системе частного вида.
§ 20.8. Существование предельного цикла.
§ 20.9. Уравнение Ван-дер-Поля.
Глава XXI. СИСТЕМЫ С n СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК
§ 21.2. Преобразование к новым координатам.
§ 21.3. Оператор Tt
§ 21.4. Решение в форме степенных рядов.
§ 21.5. Формула для X(x)-X(a)
§ 21.6. Интегральные инварианты.
§ 21.7. Интегральные инварианты порядка m.
§ 21.8. Свойства множителей.
§ 21.9. Последний множитель Якоби.
§ 21.10. Линейная система.
§ 21.11. Устойчивость равновесия.
§ 21.12. Дискретная устойчивость.
§ 21.13. Устойчивость преобразований.
§ 21.14. Приложение к дифференциальным уравнениям.
§ 21.15. Теорема Пуанкаре — Ляпунова.
§ 21.16. Критический случай.
Глава XXII. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
§ 22.1. Уравнения Гамильтона.
§ 22.2. Скобки Пуассона.
§ 22.3. Теорема Пуассона.
§ 22.4. Использование известного интеграла.
§ 22.5. Линейный интегральный инвариант Пуанкаре.
§ 22.6. Теорема Лиувилля.
§ 22.7. Теорема возвращения (теорема Пуанкаре).
§ 22.8. Примеры инвариантных областей.
§ 22.9. Эргодические теоремы.
§ 22.10. Конкретные примеры.
§ 22.11. Множество …
§ 22.12. Собственные отрезки.
§ 22.13. Доказательство эргодической теоремы; первый этап.
§ 22.14. Доказательство эргодической теоремы; второй этап.
§ 22.15. Метрическая неразложимость.
§ 22.16. Интегралы уравнений движения.
§ 22.17. Следствие теоремы Лиувилля.
§ 22.18. Последний множитель.
Глава XXIII. ДВИЖЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ЗАДАННОГО ДВИЖЕНИЯ. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
§ 23.2. Решение уравнений в вариациях.
§ 23.3. Случай постоянных коэффициентов.
§ 23.4. Случай периодических коэффициентов.
§ 23.5. Нулевые показатели.
§ 23.6. Уравнения в вариациях для системы Гамильтона.
§ 23.7. Устойчивость траекторий (1).
§ 23.8. Устойчивость траекторий (2).
§ 23.9. Устойчивость периодических орбит.
§ 23.10. Вынужденные колебания.
Глава XXIV. КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 24.1. Контактные преобразования.
§ 24.2. Формулы контактного преобразования.
§ 24.3. Другие формулы.
§ 24.4. Обобщенное точечное преобразование и другие однородные контактные преобразования.
§ 24.5. Специальная форма уравнений преобразований. Бесконечно малые контактные преобразования.
§ 24.6. Обобщение теоремы Лиувилля.
§ 24.7. Условия контактности преобразования, скобки Лагранжа.
§ 24.8. Соотношения между двумя системами производных.
§ 24.9. Условия контактности преобразования, выраженные с помощью скобок Пуассона.
§ 24.10. Соотношения между скобками Лагранжа и скобками Пуассона.
§ 24.11. Приложение к контактному преобразованию.
§ 24.12. Инвариантность скобки Пуассона.
§ 24.13. Другая форма условий контактности преобразования.
§ 24.14. Функции, находящиеся в инволюции.
§ 24.15. Некоторые примеры.
Глава XXV. ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
§ 25.1. Уравнения движения после контактных преобразований.
§ 25.2. Вариация элементов траектории.
§ 25.3. Вариация эллиптических элементов.
§ 25.4. Другие доказательства теоремы Якоби.
§ 25.5. Постоянство скобок Лагранжа.
§ 25.6. Бесконечно малые контактные преобразования.
§ 25.7. Интегралы в инволюции.
§ 25.8. Теорема Ли о системах в инволюции.
§ 25.9. Интегралы, линейные относительно импульсов.
§ 25.10. Случай, когда функция Гамильтона является однородной квадратичной формой
Глава XXVI. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
§ 26.2. Теорема Ливенса.
§ 26.3. Точки минимума и седловые точки.
§ 26.4. Асинхронное варьирование. Принцип Гёльдера.
§ 26.5. Принцип Фосса.
§ 26.6. Обобщение принципа Гамильтона.
§ 26.7. Замена независимой переменной.
§ 26.8. Нормальная форма системы с двумя степенями свободы.
§ 26.9. Система Лиувилля.
§ 26.10. Конформные преобразования.
Глава XXVII. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
§ 27.3. Принцип наименьшего действия в форме Якоби.
§ 27.4. Теорема Уиттекера.
§ 27.5. Исключение координат.
§ 27.6. Характеристическая функция.
§ 27.7. Пространство конфигураций.
§ 27.8. Система с двумя степенями свободы.
§ 27.9. Теорема Кельвина.
§ 27.10. Однородное поле.
§ 27.11. Задача Тэта. Непосредственное решение.
§ 27.12. Задача Тэта. Теория огибающих.
Глава XXVIII. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
§ 28.2. Ограниченная задача. Уравнения движения.
§ 28.3. Положения равновесия.
§ 28.4. Положения равновесия на прямой АВ.
§ 28.5. Положения равновесия, не лежащие на прямой АВ
§ 28.6. Поверхность z=U.
§ 28.7. Движение вблизи положения равновесия.
§ 28.8. Теория движения Луны.
Глава XXIX. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
§ 29.2. Случай, когда вектор момента количеств движения равен нулю.
§ 29.3. Три точки Лагранжа.
§ 29.4. Решения, для которых треугольник Лагранжа сохраняет свою форму.
§ 29.5. Случай плоского движения.
§ 29.6. Координаты относительно частицы Az
§ 29.7. Движение в окрестности равновесного решения.
§ 29.8. Сведение к системе шести уравнений.
§ 29.9. Устойчивость трех точек Лагранжа.
§ 29.10. Преобразованная форма уравнений движения.
§ 29.11. Другой подход к задаче трех точек Лагранжа.
§ 29.12. Сведение к системе восьми уравнений.
§ 29.13. Невозможность тройных столкновений.
§ 29.14. Плоское движение. Другой способ приведения к системе шестого порядка.
§ 29.15. Равновесные решения.
Глава XXX. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
§ 30.1. Периодические орбиты.
§ 30.3. Условия вещественности.
§ 30.4. Уравнения Гамильтона.
§ 30.5. Сходимость.
§ 30.6. Три точки Лагранжа.
§ 30.7. Системы, содержащие параметр.
§ 30.8. Приложение к ограниченной задаче трех тел.
§ 30.9. Метод неподвижной точки.
§ 30.11. Периодические орбиты и теорема о кольце.
§ 30.12. Доказательство теоремы Пуанкаре о кольце.