§ 5.6. Столкновение.

Вернемся к задаче двух тел. Рассмотрим случай, когда частица (в относительном движении) движется по прямой, проходящей через точку О. Без потери общности эту прямую можно выбрать и качестве оси Уравнение энергии (при имеет вид

Остановимся подробнее на случае, когда например, (по аналогии с рассмотренным выше эллиптическим движением).

Если в начальный момент и положительны, то наибольшее удаление частицы от точки О равно . Чтобы исследовать связь между координатой частицы и временем, введем новую переменную 0, определяемую из уравнения

При переменная равна нулю, и можно считать, что с ростом t эта переменная монотонно возрастает до столкновения с частицей в точке О, когда Подставляя выражение для х из (5.6.2) в уравнение

находим

Отсюда, учитывая, что получаем

и, следовательно,

причем при имеем

Уравнение (5.6.6) справедливо, собственно говоря, только для значений 0, удовлетворяющих условию — поскольку когда Однако иногда предполагают, что движение продолжается после столкновения, и тогда считают, что равенство (5.6.6) сохраняет силу и после столкновения. Такое предположение представляется наиболее естественным. Если бы а не равнялось нулю, а было бы малой положительной величиной, то орбита представляла бы собой очень тонкий вытянутый эллипс и мы имели бы периодическое движение, при котором в каждом периоде существовало бы положение, близкое к столкновению. Это предположение означает, что характер поведения частицы сохраняется и в предельном случае прямолинейного движения.

Полагая получаем

Столкновение происходит при

Если переменную считать комплексной, то правые части равенств (5.6.7) и (5.6.8) будут целыми функциями, и, исключив мы получим х как аналитическую функцию от Разложение этой функции в степенной ряд в окрестности точки имеет вид

При функция имеет алгебраическую точку разветвления, в которой соединяются три листа соответствующей римановой поверхности. Функция действительна лишь на одном из этих трех листов, и существует одно вещественное аналитическое продолжение за особую точку Эту функцию и выбирают для описания движения после момента столкновения. Выбранная ветвь является четной функцией от

Высказанные выше соображения относятся и к задаче трех тел. Может случиться, что в силу начальных условий два из трех тел столкнутся друг с другом в некоторый момент Для описания дальнейшего движения нужно принять подходящее предположение, это делается только что указанным способом. Ясно, что в течение небольшого промежутка времени после момента столкновения влияние третьего тела будет пренебрежимо мало, и в течение этого промежутка времени задачу можно рассматривать как задачу двух тел.