§ 29.15. Равновесные решения.

В качестве простого примера применения изложенной теории рассмотрим снова вопрос о существовании равновесных решений, т. е. таких решений, в которых частицы находятся в покое относительно вращающихся осей. Прежде всего заметим, что согласно (29.14.21), если такое решение существует, то

Уравнения движения для системы шестого порядка (29.14.20) имеют вид

В равновесном решении правые части этих уравнений обращаются в нуль, и в силу (29.15.1) будем иметь

Следовательно,

Равновесным решениям соответствуют точки в пространстве в которых функция

имеет стационарное значение.

Уравнения (29.15.4) в развернутом виде записываются следующим образом:

Из последнего уравнения следует, что либо

либо

Предположим, что имеет место условие (29.15.9). Тогда, подставляя это выражение для в левую часть уравнения (29.15.7), находим

Так как то отсюда следует, что Положим

Тогда из уравнения (29.15.9) получаем

Подставляя это выражение для в левую часть (29.15.6), находим

Таким образом,

т. е. мы получили равносторонний треугольник Лагранжа.

Предположим теперь, что имеет место условие (29.15.10). Тогда все три частицы располагаются вдоль одной прямой. Считая, как и ранее, что частица расположена между можем написать

В обозначениях (29.3.12) будем иметь

Уравнение (29.15.8) удовлетворяется, поскольку и из уравнений (29.15.6), (29.15.7) получаем

и

Разделив второе из этих уравнений на первое и принимая во внимание (29.15.17), получаем

Это соотношение эквивалентно уравнению пятой степени (29.3.14). Таким образом, мы снова получили уже известный результат, согласно которому равновесные решения исчерпываются равносторонним треугольником Лагранжа и случаем, когда частицы располагаются на одной прямой.