§ 13.12. Свободное тело; общий случай.

Рассмотрим теперь движение, описываемое уравнениями (13.11.1), в случае, когда различны. Для определенности предположим, что Умножая уравнения Эйлера

(13.11.1) соответственно на и складывая, получаем первый интеграл:

а умножая на и складывая, получаем еще один первый интеграл:

Полученные соотношения выражают постоянство кинетической энергии вращательного движения и постоянство величины момента количеств движения. Представим их в следующей форме:

где положительные постоянные, Если считать декартовыми координатами изображающей точки, то траекторией этой точки будет линия пересечения двух эллипсоидов. Так как

то Случаи равенства не представляют особого интереса. Так, например, из условия следует, что в течение всего времени движения, которое в этом случае представляет собой равномерное вращение с угловой скоростью около оси Поэтому, оставляя в стороне случаи равенства, будем предполагать, что Разрешим уравнения (13.12.3), (13.12.4) относительно выразив эти величины через Проделав это, получим

где положительные постоянные определяются равенствами

Из второго уравнения Эйлера

теперь получаем

Это уравнение принадлежит к знакомому нам типу (см. § 1.2) и определяет в зависимости от Обозначим полином четвертой степени в правой части равенства (13.12.9) через Нужно рассмотреть два случая: если то полином имеет нули второй кратности; если а то — простые нули.

1) Так как

то равенство имеет место лишь в том случае, когда Отсюда получается соотношение

связывающее момент количеств движения и кинетическую энергию Если выполняется равенство (13.12.11), то и уравнение (13.12.9)

принимает вид

График правой части уравнения (13.12.12) представлен на рис. 42. Согласно результатам § 1.2, в данном случае по переменней осуществляется лимитационное движение, так что при либо либо

Рис. 42.

Линия пересечения эллипсоидов (13.12.3) и (13.12.4) лежит в плоскостях

и состоит из двух эллипсов. Вектор в начальный момент располагается в одной из этих плоскостей. Предположим для определенности, что при

или, более подробно,

Из уравнения (13.12.8) следует, что первоначально возрастает, следовательно, все время монотонно возрастает, стремясь к при Чтобы определить как функцию от положим

Подставляя это выражение в уравнение (13.12.12), находим

где

Таким образом,

и из (13.12.6) находим

Знаки этих величин определяются начальными значениями: всегда отрицательно, а всегда положительно. При величины стремятся к нулю, так что движение приближается к равномерному вращению с угловой скоростью около оси

Рис. 43.

2) . При этом условии Полином в правой части равенства (13.12.9) имеет четыре простых нуля (рис. 43), и так как величина меньше, чем наименьшая из величин то мы имеем либрацию по переменной между значениями (если или между значениями (если ). Чтобы пояснить это, предположим для определенности, что это неравенство выполняется, если Таким образом, будем

иметь

При этих условиях колеблется между пределами обращается в нуль, когда никогда не оказывается меньше, чем

так что сохраняет один и тот же знак в течение всего времени движения; для определенности будем считать, что при следовательно, всегда

Величина как мы видели, колеблется между пределами Начало отсчета времени можно выбрать так, чтобы при

Так как

то в имеем Начальные условия подобны тем, что были приняты ранее (см. (13.12.14)). Чтобы проинтегрировать уравнение (13.12.9), положим

причем

Подставляя в (13.12.9), получаем

где Таким образом, при принятых начальных условиях будем иметь

и

Из (13.12.6) следует, что

Окончательно получаем

где Полное решение для со будет иметь вид

Величина колеблется между пределами у и —у с периодом колеблется между пределами а и —а с тем же периодом изменяется между пределами

с периодом