§ 23.10. Вынужденные колебания.

Выше (в § 9.10) мы уже рассматривали вынужденные колебания осциллятора с затуханием. Уравнение движения такой системы является линейным. Переход к исследованию вынужденных колебаний нелинейных систем связан с весьма большими трудностями, и обычно, чтобы достигнуть прогресса, приходится вводить упрощающие предположения, которые часто бывает трудно оправдать. Поясним это на примере движения математического маятника (пример на который действует дополнительная малая горизонтальная сила где малый параметр. Уравнение движения маятника запишется в виде

или

Напомним, что период свободных колебаний с малой амплитудой а лишь немного превышает при увеличении амплитуды а от нуля до период непрерывно возрастает от до Точнее, где а.

Рассмотрим по отдельности нерезонансный случай, когда разность не является малой, и резонансный случай, когда параметр близок к

1) Рассмотрим сначала нерезонансный случай. Решение соответствующего однородного уравнения (23.10.2) определяет свободные колебания. Однако они не представляют для нас интереса, поскольку в механической системе практически всегда имеется трение, и потому свободные колебания затухают. Частное решение, которое стремится к периодической функции с периодом выражает вынужденное колебание. Вынужденное колебание малой амплитуды всегда существует; если же то существуют два вынужденных колебания конечной амплитуды.

Чтобы исследовать вынужденные колебания малой амплитуды, возьмем линейное приближение к уравнению (23.10.2):

Решением этого уравнения будет

Оно дает приближенное выражение для вынужденного колебания конечной амплитуды.

Далее, если то существуют свободные колебания конечной амплитуды а, имеющие период (Возьмем, например, такое значение чтобы амплитуда свободного колебания с, периодом была равна 60°. Тогда что грубо равняется Существование свободного колебания с периодом предполагает возможность вынужденного колебания примерно такой же амплитуды. Представим свободное колебание в форме

Функция нечетна, периодична с периодом и имеет амплитуду а; явное выражение для дается формулой (5.2.9). Будем теперь искать решение уравнения (23.10.2) в форме где у — малая величина порядка Подставляя в (23.10.2), получаем приближение, верное с точностью до членов первого порядка относительно

Если у удовлетворяет этому уравнению, то будут приближенными решениями уравнения (23.10.2).

Частное решение уравнения (23.10.5) можно представить в форме где четная функция, нечетная функция; выражение остается постоянным, и путем соответствующего выбора функции можно добиться, чтобы эта постоянная равнялась единице. Общее решение уравнения (23.10.5) запишется тогда в виде

Если положить то правая часть (23.10.6) будет нечетной функцией от причем благодаря тому, что мы можем выбрать постоянную В так, чтобы у обращался в нуль при (следовательно, также и при Тогда

и поэтому решение являемся периодическим с периодом Решения представляют два вынужденных колебания амплитуды а и являются приближенными (с точностью до членов порядка ) решениями уравнения (23.10.2).

Итак, если положительно и не слишком мало, то мы имеем три вынужденных колебания: одно малой амплитуды и два колебания с амплитудой, близкой к а.

Хотя мы молчаливо предполагали, что свободные колебания затухают, однако в уравнении (23.10.2) мы не имели члена, указывающего на наличие трения. Важно отметить, что вынужденные колебания амплитуды, близкой к а, сохраняются и тогда, когда имеется малое трение. Если ввести малый линейный член, обусловленный наличием трения, то уравнение примет вид

где положительный множитель не слишком велик. Функция имеет период и удовлетворяет уравнению Для того чтобы получить периодическое решение уравнения (23.10.7), близкое к необходимо, чтобы

Таким образом, приближенно будем иметь

Если интеграл в правой части не обращается тождественно в нуль, то (23.10.8) дает как раз два значения при условии, что параметр не превышает некоторого предельного значения; эти два значения соответствуют двум вынужденным колебаниям, амплитуда которых близка к ранее найденной а.

2) Рассмотрим теперь случай резонанса, когда мало. Записывая уравнение (23.10.2) в форме

видим, что нелинейный возмущающий член имеет тот же порядок, что и наибольшая из величин Предположим, что все эти три величины имеют один и тот же порядок; тогда обозначая через получаем Положим подставляя выражения в уравнение (23.10.2) и сохраняя лишь члены первого порядка относительно получаем

В этом уравнении мало, но к обязательно мало.

При уравнение (23.10.10) имеет решение где произвольные постоянные. Если то решение ищется в форме

где на этот раз считаются переменными величинами. Эти величины мы найдем сначала с точностью до затем с точностью до одновременно, проводя вычисления с точностью до мы определим проводя вычисления с точностью до определим Наличие членов вида указывает на нелинейный характер левой части уравнения (23.10.2). Действительно, решение невозмущенного уравнения можно записать в форме (23.10.11), считая, однако, величины постоянными. Медленное изменение связано с наличием возмущающего члена в правой части уравнения (23.10.2).

Если выражение (23.10.11) для z подставить в уравнение (23.10.10), то с точностью до членов порядка получим

где через обозначены соответственно Уравнение будет удовлетворяться, если

При этом

Уравнения (23.10.13) и (23.10.14) определяют зависимость функций от времени; их называют уравнениями в вариациях. Как станет ясно дальше, эти уравнения определяют медленные долгопериодические вариации. Уравнение (23.10.15) называется пертурбационным уравнением; оно определяет короткопериодические вариации. Если бы, например, были постоянны, то уравнение (23.10.15) имело бы решение

Производные имеют порядок поэтому, с точностью до величин этого порядка, уравнения (23.10.13) и (23.10.14) можно заменить более простыми:

Эти уравнения определяют медленную вариацию величин

Уравнения (23.10.17) и (23.10.18) имеют знакомую нам форму (19.3.1). Представим изменение на диаграмме как движение изображающей точки; будут полярными координатами изображающей точки в Особые точки поля лежат на луче ; соответствующие значения координаты а находятся из уравнения

которое, будучи уравнением третьей степени, имеет либо один, либо три вещественных корня. Таким образом, будем иметь либо одну особую точку, либо три особые точки. (Заметим, что уравнения

также определяют те же точки.)

Рис. 103.

Особые точки соответствуют решениям (23.10.16), (23.10.17), в которых постоянны. Эти решения представляют так называемые стационарные колебания, в которых главный член ряда (23.10.11) является чисто синусоидальным: где постоянны, причем а является вещественным корнем уравнения (23.10.19). Зависимость а от к показана на рис. 103. Отбрасывая член с в левой части (23.10.19), получаем для а выражение совпадающее с элементарным решением (23.10.4), полученным для колебаний с малой амплитудой. Уравнение (23.10.19) имеет либо три вещественных корня, либо один, в зависимости от того, превышает ли параметр к некоторое критическое значение или нет. Если то имеется одно стационарное колебание; если то — три стационарных колебания. Значение равно

Перейдем теперь от стационарных колебаний к общему случаю, когда амплитуда а и фаза медленно изменяются в соответствии с уравнениями (23.10.17), (23.10.18). Эти уравнения допускают первый интеграл

Кривые, определяемые этим уравнением, представлены на диаграмме как траектории изобраяающей точки. Они показаны на рис. 104 и рис. 105; первый из них относится к случаю, когда имеется один вещественный корень, а второй — к случаю, когда имеются три вещественных корня. Скорость движения изображающей точки по траектории определяется уравнениями (23.10.17) и (23.10.18).

Особым точкам на графиках соответствуют стационарные колебания; поведение кривых в окрестности особой точки отражает изменение параметров движения, связанное с малым возмущением стационарного колебания. Поэтому для определения устойчивости или неустойчивости стационарных колебаний (в смысле § 23.8) можно воспользоваться результатами гл. XIX. Так, на рис. 104 имеется одна особая точка типа центра, и, следовательно, соответствующее стационарное колебание устойчиво. На рис. 105 имеются три особые точки. Две из них являются центрами, и соответствующие им стационарные колебания устойчивы, третья представляет собой седло, и ей соответствует неустойчивое колебание.

Рис. 104.

Рис. 105.

На рис. 103 показаны амплитуды стационарных колебаний, сплошная линия соответствует устойчивым колебаниям, пунктирная — неустойчивым.

Рассмотрим вариации величин в окрестности устойчивого стационарного колебания; возьмем, например, вариацию, определяемую кривой на рис. 104. Эта кривая замкнутая, так что вариация является периодической. Такие долгопериодические вариации параметров называются биениями. Таким образом, с точностью до величин порядка движение маятника можно представить как суперпозицию периодического движения с периодом амплитуда а и фаза в котором медленно изменяются с большим периодом 2, и добавочного движения, которое приближенно можно считать короткопериодическим с периодом

Для определения периода 2 подставим в уравнение (23.10.17) выражение для полученное из (23.10.20). Проделав это, будем иметь

где через обозначено и

Период 2 выражается через эллиптический интеграл:

где соответственно минимальное и максимальное значения а (достигаемые в точках рис. 104).

Если теперь (путем надлежащего выбора масштаба времени) придать значение, равное единице, то корни уравнения (23.10.19), дающие значения х в особых точках, окажутся равными

где соответствующее значение к будет равно Кривые на рис. 104 построены для случая значение к для этих кривых равно —7/8, и имеется одна особая точка Кривые на рис. 105 построены для случая и имеются три особые точки:

В этих расчетах не принималось во внимание влияние трения; учет его может привести к тому, что вместо центра мы получим устойчивый или неустойчивый фокус.

Исследование устойчивости можно было бы продолжить до членов порядка однако это приводит к громоздким вычислениям.