§ 21.11. Устойчивость равновесия.

Вернемся теперь к общему случаю автономной системы, движение которой определяется уравнениями

и рассмотрим более подробно движение, начинающееся в окрестности особой точки поля (т. е. точки, в которой Поместим начало координат в особой точке, как это мы делали в гл. XIX для частного случая и будем предполагать, что функции обращающиеся в точке О в нуль, могут быть разложены в ряд в окрестности этой точки:

где таковы, что вместе с где Во многих случаях функции удается представить в виде степенных рядов, начинающихся с членов второй степени и сходящихся при

Символ обозначает расстояние от точки до начала координат О в вещественном (евклидовом) пространстве Если допустить комплексные значения х, то выражение для следует взять в виде Можно также в обоих случаях (вещественных и комплексных взять вместо функцию равную . В данном случае подходят оба варианта, ибо величина мала в том и только в том случае, если мала величина тогда и только тогда, когда

Определение устойчивости и другие связанные с этим определения аналогичны приведенным в § 19.5 для рассмотренного там частного случая. Будем обозначать через значение в точке в момент t (иными словами, будет обозначать расстояние изображающей точки от точки О в момент

Будем называть равновесие устойчивым, если для заданного можно указать положительное число такое, что если то для всех Иными словами, если равновесие в точке О устойчиво, то любому как угодно малому положительному числу х соответствует положительное число такое, что неравенство влечет за собой неравенство для всех

Равновесие называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и если, кроме того, существует положительное число х такое, что если то при

Неустойчивость означает отсутствие устойчивости. Иными словами, равновесие в точке О неустойчиво, если существует положительное число х такое, что можно указать характеристики, начинающиеся как угодно близко от точки О и такие, что для некоторого положительного значения t выполняется неравенство

Подобно тому как мы поступали в § 19.4, начнем с рассмотрения линейного приближения, т. е. заменим функции в уравнениях (21.1.1) линейными членами разложений, а именно Уравнения тогда примут вид

Рассмотрим сначала случай, когда матрицу А с помощью неособого преобразования удается привести к диагональной форме. Осуществляя линейное преобразование Сад, приводим уравнения к виду

Матрицу С выберем так, чтобы матрица была диагональной матрицей диагональные элементы которой равны собственным значениям матрицы А. Так как элементы матрицы С могут оказаться комплексными, то и могут быть комплексными даже тогда, когда х вещественны. Обозначим расстояние точки и от начала О через Величина мала лишь в том случае, если мало расстояние тогда и только тогда, когда и выше, можно вместо ввести величину равную Уравнения (21.11.2) записываются теперь в следующей форме:

Решения имеют вид

где есть значение при

В случае, когда матрица А может быть приведена к диагональному виду, очевидно, что условия устойчивости сохраняют форму, данную в § 19.5. Если собственные значения матрицы А имеют вещественные части отрицательные и нулевые, то равновесие устойчиво. Если все вещественные части собственных значений отрицательны, то равновесие устойчиво асимптотически. Если хотя бы одно собственное значение имеет положительную вещественную часть, то равновесие неустойчиво.

В гл. IX мы рассмотрели несколько с иной точки зрения классическую задачу о малых колебаниях системы около точки -пространства, в которой потенциальная энергия V минимальна. В свете изложенной выше теории эта задача относится к случаю, когда матрица может быть диагонализирована, собственные значения суть чисто мнимые числа и равновесие устойчиво.

Однако иногда исследование устойчивости для случая приводит к результатам, отличным от случая Предположим, что матрицу А нельзя диагонализовать (это имеет место тогда, когда среди собственных значений есть кратные и элементарные делители не являются простыми); при этом система может оказаться неустойчивой, если среди кратных собственных значений будет хотя бы одно чисто мнимое, даже если все остальные собственные значения имеют отрицательные или нулевые вещественные части. Действительно, при этих условиях в формулах для х могут появиться члены Формальное доказательство мы отложим до § 23.3, а здесь ограничимся рассмотрением простого примера.

Пример 21.11. Рассмотрим в качестве примера систему

считая вещественным положительным числом. Собственные значения равны Решение содержит члены В явной форме имеем

и аналогично для Ясно, что начало координат является точкой неустойчивого равновесия. Пусть, например, тогда

Положим целое положительное число, тогда будем иметь

Путем надлежащего выбора правая часть может быть сделана сколь угодно большой, как бы мало ни было при этом значение

Отметим, что в данном случае (и во многих других подобных случаях) тот факт, что начало координат О является точкой неустойчивого равновесия, еще не означает, что принимает большие значения для любых малых значений Если то имеем

и неравенство соблюдается при всех если достаточно мало.