§ 5.12. Обзор полученных результатов.

Резюмируем кратко наши выводы относительно лагранжевых координат. Изменив очевидным образом обозначения, можно определить лагранжевы координаты переменные будут выражаться явным образом через

и все возможные конфигурации системы будут охватываться соответствующими значениями в некоторой области пространства . В достаточно малой области этого пространства (хотя и не всегда во всей области соотношение между переменными будет взаимно однозначным.

В последующих примерах будет предполагаться, что функции принадлежат классу в области . В большей части случаев, представляющих практический интерес, переменные х зависят только от и не зависят от t.

Если система голономна, то наименьшее возможное значение равно числу к степеней свободы системы. Если же система неголономна, то наименьшее возможное значение равно к где I — число уравнений связи

причем эти уравнения не допускают интегрируемых комбинаций. Коэффициенты в уравнениях (5.12.2) принадлежат к классу Возможные перемещения определяются формулами

Входящие сюда дифференциалы удовлетворяют условиям (5.12.2). Виртуальные перемещения даются равенствами

Дифференциалы удовлетворяют условиям

Формулы (5.12.3) и (5.12.4) справедливы, разумеется, и для голономных систем, но в этом случае дифференциалы не подчинены никаким ограничениям.

В любом случае число лагранжевых координат при желании можно взять больше минимального числа, скажем, на координат. При этом к пфаффовым уравнениям связи (если таковые имеются) добавятся еще соотношений. Эти соотношения можно представить в форме конечных уравнений вида

(а не уравнений Пфаффа). Функции будем считать имеющими непрерывные первые производные в некоторой области значений . В случае, когда число лагранжевых координат превышает минимальное, принято говорить об избыточных координатах. Избыточные координаты вводят, например, в тех случаях, когда желают перейти к новой системе, накладывая связи на старую систему; при этом может оказаться удобным сохранить координаты, описывающие старую систему, хотя число их и не является наименьшим возможным числом для новой системы.

Во многих случаях совокупность удобно рассматривать как изображающую точку в пространстве измерений. Движение этой точки дает наглядное представление о движении механической системы, поскольку движение системы (т. е. последовательность ее конфигураций) находится в соответствии с движением изображающей точки в -мерном пространстве. Иногда, удобства ради, мы будем пользоваться обозначением вместо вместо