и 
являются малыми. Характеристика много раз пересекает плоскость 
но пересечение в точке 
(спустя время, равное почти 
) точно определяется из соображений непрерывности. На рис. 102 иллюстрируется случай 
Точка а полностью определяется точкой 
причем оператор 
в качестве неподвижной точки имеет точку 
Матрица А линейного приближения к 
(имеющая 
строк и 
столбцов) имеет вид
Рис. 102.
Кроме того, разность 
зависит только от а:
Функция обращается в нуль при 
и имеет непрерывные первые производные, и поэтому существует постоянная К такая, что если 
достаточно мало, то 
Пусть теперь характеристика, начинающая в точке 
определяется 
параметрами 
Если 
есть оператор преобразования 
в 
то матрица линейного приближения к этому оператору имеет вид
и характеристический полином этой матрицы равен 
где 
характеристический полином (степени 
матрицы А. Обозначим нули полинома 
через 
Тогда характеристические показатели периодической орбиты будут равны 
где 
(§ 23.4), и так как вещественные части показателей 
отрицательны, то 
при 
Следовательно, преобразование 
асимптотически устойчиво и 
при 
Итак, периодическая орбита асимптотически устойчива в орбитальном смысле. К этому выводу мы пришли из рассуждений, проводившихся для дискретной системы точек на траектории возмущенного движения, но результаты остаются в силе и в общем случае, поскольку для любого конечного промежутка времени характеристика изменяется непрерывным образом в зависимости от начальных данных.
Обозначим через 
момент 
-го пересечения плоскости 
характеристикой. Докажем, что величина 
ограничена; разность 
(в определении орбитальной устойчивости) не возрастает неограниченно.
Для целых положительных значений 
имеем
где 
, и следовательно
Далее, имеем
и
для всех 
при условии, что 
достаточно мало. Неравенство (23.9.7) вытекает из следствия из теоремы Пуанкаре — Ляпунова (§ 21.15). В результате получаем
что и требовалось доказать.
вдоль касательной к орбите в точке О. Тогда в этой точке и в окрестности ее будем иметь 
Рассмотрим траекторию, начинающуюся при 
в точке 
вблизи от точки О. Эта траектория пересечет плоскость 
переходя от значений 
к значениям 
поскольку в окрестности точки 
Обозначим координаты точки пересечения через 
а время пересечения (положительное или отрицательное) — через 
. Введем 
-мерный вектор 
в рассматриваемой задаче 
будут малы. Предположим, что в момент а 
характеристика снова пересекает плоскость 
в точке а, переходя на этот раз от значений 
к значениям 
здесь о обозначает период периодического движения, а величины 
