§ 23.9. Устойчивость периодических орбит.

Как мы видели в § 23.5, в задаче о движении в окрестности периодической орбиты один характеристический показатель равен нулю. Здесь мы докажем, что если все остальные характеристические показатели имеют отрицательные вещественные части, то периодическая орбита асимптотически устойчива в орбитальном смысле.

Возьмем точку О на периодической орбите за начало координат и направим ось вдоль касательной к орбите в точке О. Тогда в этой точке и в окрестности ее будем иметь Рассмотрим траекторию, начинающуюся при в точке вблизи от точки О. Эта траектория пересечет плоскость переходя от значений к значениям поскольку в окрестности точки Обозначим координаты точки пересечения через а время пересечения (положительное или отрицательное) — через . Введем -мерный вектор в рассматриваемой задаче будут малы. Предположим, что в момент а характеристика снова пересекает плоскость в точке а, переходя на этот раз от значений к значениям здесь о обозначает период периодического движения, а величины

и являются малыми. Характеристика много раз пересекает плоскость но пересечение в точке (спустя время, равное почти ) точно определяется из соображений непрерывности. На рис. 102 иллюстрируется случай

Точка а полностью определяется точкой причем оператор в качестве неподвижной точки имеет точку Матрица А линейного приближения к (имеющая строк и столбцов) имеет вид

Рис. 102.

Кроме того, разность зависит только от а:

Функция обращается в нуль при и имеет непрерывные первые производные, и поэтому существует постоянная К такая, что если достаточно мало, то

Пусть теперь характеристика, начинающая в точке определяется параметрами Если есть оператор преобразования в то матрица линейного приближения к этому оператору имеет вид

и характеристический полином этой матрицы равен где характеристический полином (степени матрицы А. Обозначим нули полинома через Тогда характеристические показатели периодической орбиты будут равны где (§ 23.4), и так как вещественные части показателей отрицательны, то при Следовательно, преобразование асимптотически устойчиво и при

Итак, периодическая орбита асимптотически устойчива в орбитальном смысле. К этому выводу мы пришли из рассуждений, проводившихся для дискретной системы точек на траектории возмущенного движения, но результаты остаются в силе и в общем случае, поскольку для любого конечного промежутка времени характеристика изменяется непрерывным образом в зависимости от начальных данных.

Обозначим через момент -го пересечения плоскости характеристикой. Докажем, что величина ограничена; разность (в определении орбитальной устойчивости) не возрастает неограниченно.

Для целых положительных значений имеем

где , и следовательно

Далее, имеем

и

для всех при условии, что достаточно мало. Неравенство (23.9.7) вытекает из следствия из теоремы Пуанкаре — Ляпунова (§ 21.15). В результате получаем

что и требовалось доказать.