§ 17.11. Ограниченные траектории.

Ограничимся рассмотрением случая Тогда и траектория располагается внутри эллипса Если вещественны, то лежит вне интервала

Рис. 62.

Рис. 63.

Рис. 64.

Учитывая это, легко представить четыре типа возможных траекторий. В области и движение по координате X представляет либрацию между пределами и . В областях и движение по координате X есть либрация между пределами . В областях 1 и 2 нули функции либо комплексные, либо вещественные (в последнем случае Движением по координате является либрация между пределами с и —с. В области и движение по координате может быть либо либрацией между пределами с и либо либрацией между пределами . В области и движение по координате есть либрация между пределами и

Таким образом, области 1 соответствуют траектории, представляющие собой выпуклые кривые, не обязательно замкнутые, расположенные в кольце между эллипсами (рис. 62). Замкнутые траектории и периодические движения мы будем иметь тогда, когда отношение

есть число рациональное.

Области 2 соответствуют траектории, имеющие форму восьмерки, охватывающей оба центра (рис. 63).

Движение, соответствующее области 3, представляет обращение планеты вокруг одного из притягивающих центров (рис. 64). При переходе из области 2 в область 3 траектория, имевшая форму восьмерки, разбивается на две

отдельные кривые, одна из которых исчезает при переходе из области 3 в область 4. В этой последней области планета обращается вокруг притягивающего центра с большей массой

Чтобы закончить классификацию траекторий в случае следует рассмотреть еще точки границ областей, указанных на рис. 61. Исследование разделим на три части.

1) Кривая 23, разделяющая области 2 и 3, является критической кривой, для которой значения двойного нуля лежат между некоторым значением и с. Функция имеет два нуля, которые при равны так что

В самом деле, точка лежащая на прямой, соединяющей притягивающие центры, является точкой равновесия, поскольку в этой точке

и, следовательно,

Укажем теперь основные результаты для точек на критических кривых 12, 23, 34, 42.

Критическая кривая 12. В этом случае величины либо комплексны, либо вещественны и больше с; движение по координате является либрацией между пределами . Далее, с и

причем Движение по координате X либо есть движение по линии либо является лимитационным движением, причем соответствующая траектория подходит к линии сверху. Первое из этих движений происходит по прямой, соединяющей притягивающие центры, и не является истинной либрацией из-за особенностей поля в центрах. Второе же движение происходит по спирали, лежащей внутри эллипса и касающейся его. Все эти орбиты, однако, неустойчивы и на практике не встречаются.

Критические кривые 23, 34, 42. Для этих кривых и движение по координате X есть либрация между пределами

Критическая кривая 23. Для этой кривой и

Движение по координате либо есть движение по кривой представляющей гиперболу, пересекающую ось между центром и точкой равновесия, либо является лимитационным движением с любой стороны от этой гиперболы. В первом случае движение носит характер колебаний, ограниченных эллипсом Оба типа движения неустойчивы.

Критическая кривая 34. Для этой кривой с и

В этом случае имеются две возможности, а) Движение по координате может представлять либрацию между пределами и —с, так что планета будет обращаться вокруг центра Орбите этого типа соответствуют точки с обеих сторон от граничной кривой, а также точки на самой кривой; квадратичный член в выражении для не влияет на характер орбиты. Движение по координате может представлять изолированное устойчивое движение по линии при этом планета является спутником центра Движение по координате X не является истинной либрацией, поскольку спутник сталкивается с массой

Критическая кривая 42. В этом случае и

Движение по координате как и в предыдущем случае, есть движение по линии но в данном случае оно неустойчиво или же является лимитационным; в последнем случае траектория приближается к линии снизу, подобно тому как это имело место для критической кривой 23.

2) Рассмотрим теперь критические кривые, обозначенные на рис. 61 буквами Вдоль кривых величины комплексны, и движение по координате представляет собой либрацию между пределами .

Кривая и

Ей соответствует изолированное устойчивое периодическое движение по эллипсу Эллипс является возможной орбитой как при движении в поле каждого из притягивающих центров, так и при движении в поле обоих притягивающих центров. (Читатель может доказать это утверждение независимо от общей теории.)

Кривая и

В этом случае имеем изолированное устойчивое движение по линии, соединяющей притягивающие центры, заканчивающееся столкновением с одной из притягивающих масс. Кривая и

и

Подобно случаю движение по координате X есть изолированное устойчивое движение вдоль Движение по координате совершается либо между пределами либо между пределами . Планета является спутником одной из притягивающих масс; движение начинается из точки вблизи одной массы по направлению к другой и никогда не достигает точки равновесия. Планета сталкивается с притягивающей массой, вблизи которой началось ее движение.

Кривая Движение по координате к есть либрация между пределами Кроме того,

и

Движение по координате есть изолированное устойчивое движение вдоль линии планета является спутником массы

3) Остается рассмотреть несколько особых точек на рис. 61. Начнем с точки, общей для областей 2, 3, 4. В этой точке сев, движение по к является либрацией между к, и с. Далее, и

Движение либо происходит вдоль линии либо является лимитационным; в последнем случае траектория приближается снизу к линии Эти движения неустойчивы. Можно считать, что рассматриваемая точка принадлежит кривой 42, которая в этом месте разветвляется на две кривые: 23 и 34.

В точке величины комплексны, и движение по координате является либрацией между пределами . Кроме

Движение происходит вдоль линии, соединяющей центры притяжения, и является устойчивым, несмотря на кубический множитель в выражении для так как координата к ограничена. Здесь мы имеем особый случай, упоминавшийся в § 17.6.

В точке пересекаются критические кривые при этом . В этой точке

Движение по координате к есть изолированное движение вдоль линии Что же касается координаты то имеем либо либо сверху или снизу. Планета либо находится в покое в точке равновесия, либо стремится к ней в пределе с той или иной стороны, причем движение начинается из точки вблизи одного притягивающего центра по направлению к другому с энергией, как раз достаточной для достижения точки равновесия. Как положение равновесия, так и лимитационное движение являются неустойчивыми.