§ 21.3. Оператор Tt
Рассмотрим автономную систему. Характеристики, представляемые уравнениями (21.1.5), определяют преобразование а в 
зависящее от 
Оператор 
преобразует точку а, занимаемую изображающей точкой в момент 
в точку х, занимаемую изображающей точкой в момент t. Предполагается, что якобиан
не обращается в нуль ни при одном допустимом значении 
(Ниже мы увидим, что в важном частном случае уравнений Гамильтона этот якобиан имеет значение, равное единице.) Рассмотрим подобласть 
области 
(соответствующей уравнениям (21.1.4)), и пусть а 
Тогда преобразование 
при достаточно малых t определит топологическое отображение 
на область 
Оператор 
будет определять тождественное преобразование, а оператор 
обратное преобразование, отображающее область 
на 
Два последовательных преобразования, задаваемые операторами 
обладают свойством коммутативности и эквивалентны одному преобразованию, осуществляемому оператором
Кроме того, оператор 
обладает свойством ассоциативности:
Таким образом, мы имеем непрерывную однопараметрическую группу преобразований пространства х в себя.
В важном частном случае уравнений Гамильтона 
переменных группируются в 
пар 
и соответствующее преобразование, обладающее особыми свойствами, называется контактным преобразованием. Преобразования этого вида будут рассмотрены нами в гл. XXIV.
