§ 28.7. Движение вблизи положения равновесия.

Возникает вопрос: являются ли положения равновесия устойчивыми и существуют ли такие движения планетоида, при которых он все время остается вблизи какой-либо из точек

Обозначим через о координаты какой-нибудь точки и положим в уравнениях движения

Разлагая правые части уравнений движения в ряды по степеням и сохраняя только члены первого порядка, получаем следующие уравнения линейного приближения:

В этих уравнениях постоянные выражают значения производных в точке Уравнения (28.7.2) представляют собой уравнения в вариациях § 23.1, хотя в данном случае рассматриваются отклонения относительно положения равновесия, а не относительно известной траектории.

Решение уравнений (28.7.2) — линейных уравнений с постоянными коэффициентами — составляется из членов, содержащих в качестве множителя где корень уравнения

или

Это — квадратное уравнение относительно и для устойчивости по первому приближению корни его должны быть вещественны и отрицательны.

С самого начала ясно, что по крайней мере одно из положений равновесия не будет устойчивым. В самом деле, согласно так что одно из значений положительно, а другое отрицательно. Величины имеют вид либо либо где вещественные положительные числа. Рассмотрим теперь одну из точек Для этих точек уравнение (28.7.4) принимает вид

(Мы сюда подставили найденные ранее значения постоянных , см. (28.5.2).) Для того чтобы было вещественно и отрицательно, нужно, чтобы

а это неравенство в свою очередь будет выполняться при условии, если отношение превышает больший корень уравнения

который равен Таким образом, положения равновесия и будут устойчивы по первому приближению, если масса в точке А приблизительно в 25 раз больше массы в точке В. Если, например, в точке А находится Солнце, а в точке В — одна из планет, то это условие, разумеется, будет выполняться.

Сделаем по поводу полученных результатов два замечания. Во-первых, устойчивость по первому приближению еще не означает устойчивости при рассмотрении точных уравнений (гл. XIX). Кроме того, в этом случае мы лишены возможности вывести суждение об устойчивости из интеграла энергии, как это мы делали в теории малых колебаний Во-вторых, если система устойчива при рассмотрении точных уравнений, а также в первом приближении, то это связано с влиянием линейных членов в выражении для Благодаря им в уравнениях движения появляются гироскопические члены. При отсутствии слагаемых мы имели бы задачу о движении в поле консервативных сил, а для такого поля потенциальная функция в точках имеет максимум, и эти точки являются положениями неустойчивого равновесия.

Линеаризованные уравнения движения (28.7.2) являются уравнениями Лагранжа. полученными из функции Лагранжа

Соответствующая функция Гамильтона имеет выражение

где через обозначены составляющие импульса Гамильтоновы уравнения движения имеют вид