§ 5.7. Лагранжевы координаты для голономной системы.
Вернемся теперь к задаче о переходе от декартовых координат к лагранжевым, которую мы начали рассматривать в § 5.1. Допустим сначала, что уравнения связи (2.2.4) вполне интегрируемы, т. е. что они эквивалентны 
уравнениям вида
где
причем 
В этом случае система является голономной.
Рассмотрим преобразование
в котором первые 
функций 
суть функции (5.7.2), определяемые уравнениями связи, а остальные 
функций 
представляют собой подходящим образом подобранные функции от аргументов 
принадлежащие классу 
Если 
достаточно малая область пространства 
в которой якобиан
отличен от нуля, то уравнения (5.7.3) определяют взаимно однозначное соответствие между областью 
пространства 
и областью А пространства 
Уравнения (5.7.3) могут быть разрешены относительно 
Получаемые при этом функции от аргументов 
принадлежат классу 
в области А. В большей части случаев, представляющих практический интерес, переменные х зависят только от 
и не зависят от t. Уравнения связи в новых переменных принимают простую форму:
(Действительно, в большей части случаев уравнения связи с самого начала могут быть представлены в этой форме, причем а — абсолютные постоянные, не зависящие от начальных условий.) Если значения постоянных 
в уравнениях (5.7.5) установлены, остальные к переменных 
определяют положение системы. Переменные х выражаются как явные функции от к координат 
и времени, что является важным свойством лагранжевых координат. Уравнений связи теперь нет, перемещение, представляемое произвольными дифференциалами 
является возможным, и
Рассмотрим теперь виртуальные перемещения. Виртуальные перемещения 
удовлетворяют уравнениям
Уравнения (5.7.7) удовлетворяются выражениями
при произвольных значениях 
поскольку
если 
Более того, это — виртуальное перемещение в наиболее общем виде. Виртуальные перемещения определяются произвольными приращениями 
причем время t не варьируется.
Описанный выше процесс позволяет осуществить формальный переход от декартовых координат к лагранжевым, однако на практике применяют
значительно более простой способ преобразования координат. Как уже отмечено ранее (§ 5.1), в большей части случаев выбор лагранжевых координат может быть произведен непосредственно.
