§ 25.8. Теорема Ли о системах в инволюции.

В предыдущем параграфе мы рассматривали систему функций класса в некоторой области от переменных, причем скобка Пуассона любой пары этих функций тождественно равнялась нулю. Такую систему функций мы называли системой в инволюции.

Докажем теперь следующую теорему. Если функции

от переменных принадлежат к классу в области значений и, соответствующей области значений переменных то

Доказательство легко получить путем непосредственного дифференцирования, однако для наших целей предпочтительнее воспользоваться теорией контактных преобразований. Напомним, что бесконечно малое контактное преобразование (25.6.1) переводит функцию в самое себя, если

Рассмотрим бесконечно малое контактное преобразование, когда Это преобразование переводит каждую из функций в самое себя; то же относится и к функции Следовательно, и точно так же

Рассмотрим теперь бесконечно малое контактное преобразование, когда При этом преобразовании каждая из функций переходит в самое себя; то же относится и к функции Следовательно, и теорема, таким образом, доказана.

Эту теорему можно выразить несколько в иной форме, что часто оказывается удобным. Предположим, что уравнения являются следствием уравнений Тогда . В такой формулировке эта теорема известна как теорема Ли.

Воспользуемся теоремой Ли для доказательства одного утверждения, уже доказанного нами ранее в § 24.14 и § 25.7; теорема Ли в сильной степени упрощает все рассуждения. Пусть имеются функций

находящихся в инволюции. Если разрешить уравнения

относительно переменных и представить их в форме

то будем иметь

Это равенство было выведено нами в § 24.14 путем довольно длинных рассуждений; теперь можно показать, что оно является непосредственным следствием теоремы Ли. В самом деле, если параметры рассматривать как постоянные, то уравнения (25.8.4) оказываются следствиями уравнений (25.8.3). Далее, так как левые части уравнений (25.8.3) образуют систему в инволюции, то этим же свойством обладают и левые части уравнений (25.8.4). Следовательно,

и равенство (25.8.5), таким образом, доказано.

Другой аналогичный результат такого же типа относится к теореме Гамильтона — Якоби. Предположим, что для заданной динамической системы с функцией Гамильтона нам известен полный интеграл уравнения Гамильтона в частных производных. Разрешим уравнения

относительно а и представим их в виде

Функции являются интегралами гамильтоновых уравнений движения, и эти интегралы находятся в инволюции. В самом деле, легко проверить, что левые части уравнений (25.8.7) образуют систему в инволюции; требуемый результат следует тогда из теоремы Ли.