§ 4.4. Приложения принципа Гаусса.
Принцип Гаусса тесным образом связан с уравнениями движения в форме Гиббса — Аппеля, которые будут рассмотрены в гл. XII и XIII; там же будут приведены решения более сложных задач. Здесь же мы ограничимся несколькими простыми примерами.
Пример 4.4А. Машина Атвуда. Две массы 
соединены легкой нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий блок, и движутся по вертикали. Определить движение масс.
Если 
ускорение массы 
движущейся вверх, и массы 
движущейся вниз, то можем написать
Отсюда
Выражение С достигает минимума при
так что ускорение имеет постоянное значение. Еще проще этот результат получается из условия
выражающего стационарность функции С.
Пример 
Обезьяна и противовес. Пусть теперь вместо груза массы 
на конце нити находится обезьяна той же массы, и пусть она лезет вверх по нити. Положение обезьяны относительно нити в момент t зададим функцией 
класса 
и будем предполагать, что первоначально система находилась в покое и что 
Если через z обозначить вертикальную координату обезьяны (рассматриваемой как материальная точка), а через 
координату противовеса в момент 
то выражение С запишется в следующей форме:
Пусть при 
тогда 
и
Требуется определить значение 
минимизирующее выражение С. Оно находится из уравнения
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид
В частном случае, когда 
получаем 
т. е. обезьяна и противовес находятся на одной и той же высоте.
Пример 4.4С. Частица на движущейся наклонной плоскости. Клин массы 
скользит по столу, а частица массы 
движется по наклонной плоскости клина, образующей с плоскостью стола угол а. Все поверхности гладкие. Движение происходит в вертикальной плоскости, проходящей через линию наибольшего наклона. Найти движение частицы.
Если через 
обозначить ускорение клина в момент 
а через 
ускорение частицы относительно клина в этот же момент времени, то выражение для С запишется в виде
Из уравнений 
находим
Следовательно, 
постоянны.
