§ 22.17. Следствие теоремы Лиувилля.

В предыдущем параграфе мы использовали факт существования однозначного интеграла уравнений движения для получения инвариантного интеграла по области измерений. Выясним теперь условия, при которых существует инвариантный интеграл по области измерений.

Рассмотрим автономную систему Гамильтона, допускающую периодическое решение. Допустим, что периодическая траектория начинается в момент в точке А фазового пространства и возвращается в эту точку в момент координатами точки А пусть будут Предположим, далее, что производная в точке А не обращается в нуль, так что траектория не касается плоскости со, уравнение которой

Обозначим через малую окрестность точки А в плоскости рассмотрим траекторию, начинающуюся в момент из точки области Спустя время изображающая точка возвратится в плоскость со, в точку близкую к время будет мало отличаться от а. Траектория,

щаяся в точке может многократно возвращаться в плоскость со, но тем не менее точка точно определяется упомянутым выше свойством непрерывности. По мере того как точка принимает всевозможные положения в области точка описывает область в плоскости , и в результате движение определяет топологическое отображение области на область Точка А является неподвижной точкой этого отображения.

Рассмотрим интервал времени от до Траектории, выходящие в момент из точек области заполняют в течение этого времени цилиндр с основанием Аналогично, траектории, начинающиеся в момент в точках области образуют за время ( цилиндр С с основанием Если обозначить через трубку, образуемую траекториями, начинающимися оканчивающимися то согласно теореме Лиувилля область будет иметь тот же объем (меру в пространстве что и так что С будет иметь тот же что и Полагая видим, что интеграл

остается при преобразовании инвариантным.

Используем теперь тот факт, что есть интеграл уравнений движения. Перейдем от переменных к переменным и возьмем в качестве произведение пространств: -мерной области пространства и интервала переменной Область является малой окрестностью точки есть значение в точке А. Но сохраняет постоянное значение вдоль траектории, откуда следует, что является прямым произведением -мерной области А пространства и интервала переменной Интеграл (22.17.1) равен

откуда следует, что интеграл

является инвариантом.

В этом и заключается следствие теоремы Лиувилля, которое мы хотели вывести.

Доказательство можно несколько сократить, если воспользоваться теоремой § 22.4. Систему можно привести к гамильтоновой с функцией Гамильтона (22.4.5). Новыми зависимыми переменными будут независимой переменной будет Система будет неавтономна, поскольку функция Гамильтона содержит однако это не исключает возможности применения теоремы Лиувилля, и полученное выше следствие является специальным случаем теоремы Лиувилля для преобразованной системы.