§ 5.10. Достижимость.

Рассмотрим теперь случай, когда сфера катится по неподвижной горизонтальной плоскости. Тогда уравнения связи будут иметь вид

Мы имеем неголономцую систему с тремя степенями свободы. Однако пространство конфигураций, достижимых из заданного положения, будет пятимерным. В самом деле, систему из любой исходной конфигурации можно перевести в любую другую, определяемую произвольными значениями координат Это уже отмечалось нами на примере более простых неголономных систем (§§ 1.8 и 2.1). В этом параграфе доказательство достижимости любой конечной конфигурации из любой начальной мы проведем следующим образом. Пусть в начальной конфигурации точка А сферы находится в контакте с точкой А плоскости, а в конечной конфигурации точка В сферы находится в контакте с точкой В плоскости. Рассмотрим дугу большого круга; обозначим ее длину через а длина линии А В пусть будет где целое число и Продолжим (если это нужно) дугу на сфере до точки С так, чтобы длина дуги равнялась пусть будет серединой дуги Чтобы от конфигурации

перейти к конфигурации повернем сферу сначала вокруг диаметра, проходящего через точку А, так, чтобы дуга оказалась в вертикальной плоскости, проходящей через отрезок АВ. Затем перекатим сферу к точке В повернув на угол так, чтобы точка сферы пришла в соприкосновение с точкой плоскости. После этого повернем сферу на угол вокруг диаметра, проходящего через точку и затем перекатим ее на угол до совпадения точки В сферы с точкой В плоскости.

Наконец, поворачивая сферу около диаметра, проходящего через точку В, переведем ее в требуемое положение Эти пять операций, разумеется, можно осуществить за конечный промежуток времени, и координаты в процессе этих движений будут иметь непрерывные вторые производные по времени. (Если отрезок кривой повернуть на угол у за конечный промежуток времени от до вращая его с угловой скоростью, равной то угловая скорость и угловое ускорение как в момент так и в момент при этом будут равны нулю.)