§ 19.6. Движение в окрестности особой точки. Общая теория.
Перейдем теперь к общей теории движения в окрестности изолированной особенности поля 
Поместим начало координат, как и в § 19.4, в особую точку. Тогда
уравнения запишутся в форме
Здесь 
вместе с 
Обозначим через 
поле, определяемое одними только линейными членами:
Вблизи точки О поле 
мало отличается от 
точнее, при 
где 
угол между 
Это утверждение почти очевидно. Чтобы доказать его формально, заметим, что
и отношение 
не обращается в нуль. В самом деле, 
где с — нижняя граница 
на единичном круге. Кроме того, при 
Таким образом, 
когда 
Далее,
где 
следовательно,
и первое утверждение, таким образом, доказано. Доказательство второго утверждения следует из условия
Иногда рассматривают радиальную и трансверсальную составляющие поля 
обозначим их соответственно через 
а составляющие 
— через 
Поле 
мы исследовали в § 19.4; выясним теперь, в какой степени движение в окрестности точки О в поле 
отличается от движения в окрестности этой точки в поле 
Однако теперь, в отличие от поляо» 
ограничимся характеристиками, начинающимися вблизи точки О.
Как мы увидим, движение в окрестности узла, седла или фокуса подобно соответствующему движению для поля 
Исключение составляет вихревая точка. В этом случае линейных членов недостаточно, чтобы решить вопрос об устойчивости. Это является несколько неожиданным, в особенности если учесть, что сюда относится задача о малых колебаниях 
Однако в случае малых колебаний мы располагаем некоторыми дополнительными данными, получаемыми из уравнения энергии, факт устойчивости мы знаем заранее, и линейная теория в этом случае дает хорошее приближение к действительному движению. Но в общем случае оснований для такого рода утверждений нет.
Рассмотрим сначала положительную полухарактеристику, которая стремится к точке О и входит в нее. Если при 
то одновременно 
и поскольку
находим
Вектор 
представляет собственный вектор матрицы А. Таким образом, если собственные значения 
вещественны и различны, то могут существовать лишь два направления (или четыре, если различать положительные и отрицательные), по которым траектории входят в точку 
если же собственные значения комплексно-сопряженные, то ни одна траектория не может входить в точку О.
Рассмотрим теперь движение в окрестности особых точек различных типов.
