§ 24.2. Формулы контактного преобразования.

Рассмотрим преобразование переменных

к переменным

определяемое уравнениями

Эти формулы мы часто будем записывать в следующей компактной форме:

Функции принадлежат к классу когда переменные лежат в области а переменная t находится в некотором интервале Для каждого значения t в интервале I уравнения преобразования определяют топологическое отображение области на область пространства ; при этом преобразование допускает обращение, а именно:

Эти формулы справедливы при условии, что точка лежит в области в интервале В частном случае, рассмотренном в § 24.1, функции определялись движением определенной динамической системы; теперь мы не будем делать никаких предположений подобного рода. Действительно, во многих важных для практики случаях функции входящие в формулы (24.2.1), (24.2.2) и (24.2.3), (24.2.4), не содержат t. Простым примером контактного преобразования такого типа могут служить формулы (24.1.1), (24.1.2), если величину t считать в них постоянной. В дальнейшем, при исследовании задачи трех тел (гл. XXIX), мы встретимся со многими другими примерами подобных преобразований, уравнения которых не содержат t.

Предположим теперь, что преобразование, заданное формулами (24.2.1), (24.2.2), является контактным. Возьмем пфаффову форму и выразим ее через переменные с помощью формул (24.1.1), (24.1.2). Проделав это, будем иметь

где функции от Рассмотрим два возможных случая:

1) Если якобиан

не обращается тождественно в нуль, то уравнения (24.2.1) можно разрешить относительно выразив их через функции также можно представить в зависимости от Между переменными не существует никакого тождественного соотношения, и контактное преобразование задается формулами

где теперь символы обозначают функции от переменных и функция в соответствующей области пространства Формулы (24.2.7) и (24.2.8) определяют контактное преобразование посредством производящей функции

Обратно, если дана произвольная функция то уравнения (24.2.7) и (24.2.8) определяют контактное преобразование при условии, что матрица

не является особенной. Действительно, в этом случае уравнения (24.2.7) можно разрешить относительно переменных выразив последние через в результате мы придем к формулам (24.2.1). Подставляя полученные выражения для в (24.2.7), мы тождественно удовлетворим этим равенствам, следовательно,

Таким образом, матрица, обратная неособенной матрице (24.2.10), равна стало быть, сама является неособенной матрицей. Поэтому якобиан (24.2.6) не равен нулю, откуда следует, что формулы (24.2.7) и (24.2.8) определяют контактное преобразование.

2) Если якобиан (24.2.6) тождественно равен нулю, то существует по крайней мере одно тождественное соотношение, связывающее переменные Предположим сначала, что матрица имеет ранг Тогда между этими переменными имеется одно и только одно тождественное соотношение; запишем его в форме

Теперь функции будут выражаться через переменные уже не единственным образом и, следовательно, формулы (24.2.7) — (24.2.9)

перестанут быть справедливыми и должны быть заменены следующими:

где X — неопределенный множитель. Аналогично, если матрица имеет ранг то переменные связаны I тождествами и соответствующие формулы преобразования содержат I множителей