§ 21.9. Последний множитель Якоби.
Рассмотрим уравнения траекторий автономной системы
и допустим, что нам известны 
пространственных интегралов
этих уравнений. Для определения траекторий требуется проинтегрировать уравнение
в котором функции 
находятся из 
при переходе к 
с помощью соотношений (21.9.2).
Если известен множитель для исходной системы, то можно определить интегрирующий множитель уравнения (21.9.3). Соответствующее правило дается известной теоремой Якоби о последнем множителе. Пусть 
множитель исходной системы (21.9.1), тогда интегрирующий множитель уравнения (21.9.3) дается выражением 
где
а штрих указывает на то, что величина выражается через 
Таким образом 
-й, интеграл определяется выражением
что и завершает решение системы (21.9.1): все траектории найдены.
Доказательство теоремы Якоби весьма простое. Перейдем к новым переменным 
с помощью формул
В пространстве у движение происходит в плоскостях
При этом функции 
тождественно равны нулю. Кроме того., для преобразования 
Преобразованная система имеет вид
и если 
множитель для исходной системы, то 
будет множителем для преобразованной системы (§ 21.8, п. 5). Поэтому 
является интегрирующим множителем уравнения (21.9.3) (§ 21.8, п. 4), что и требовалось доказать.
Не следует, однако, переоценивать полученный результат. Как мы видели, нет гарантии, что существуют 
независимых однозначных
пространственных интеграла. Если же они существуют, то интегрирование уравнения (21.9.3) может оказаться достаточно простым и без специального правила для отыскания интегрирующего множителя.
Теорема легко обобщается на тот случай, когда требуется найти 
интеграл системы (автономной или неавтономной), если известны 
ее интегралов и один множитель, удовлетворяющий уравнению (21.7.20). В самом деле, как уже указывалось, неавтономную систему с 
координатами можно трактовать как автономную систему с 
координатами. Уравнения (21.9.1) заменятся теперь следующими:
причем функции X могут содержать t. Правило Якоби определяет интегрирующий множитель уравнения
где штрих указывает на переход к переменным 
постоянным 
