§ 30.6. Три точки Лагранжа.

Применим теорему § 30.2 к исследованию равновесного решения, в котором три частицы располагаются в вершинах равностороннего треугольника и находятся в покое. Уравнения движения возьмем в преобразованной форме § 29.8. Собственные значения линеаризованной задачи о возмущенном движении найдем из уравнения

в котором

Собственными значениями будут

Ни одно из отношений при этом не является целым числом. Действительно, в случае неустойчивого равновесия числа не являются чисто мнимыми, а в случае устойчивого равновесия когда и — чисто мнимые, равные имеем

лежат в интервале от до 1. Таким образом, условия теоремы § 30.2 выполнены, и в окрестности равновесного решения существует семейство периодических движений (относительно вращающихся осей) с периодами, близкими к

Эти периодические движения нам уже известны, они были предметом нашего рассмотрения в § 29.4. Речь идет о решениях типа треугольника Лагранжа, форма которого остается неизменной. Частицы при этом движутся в пространстве с периодом по эллипсам, близким к окружностям; движение их относительно вращающихся осей в окрестности равновесного положения приближенно является эллиптическим. В этом случае периоды точно (а не приближенно) равны

Если выполнено условие устойчивости то в окрестности равновесного решения существует еще одно семейство периодических движений с периодами, близкими к При этом ни одна из величин не является целым числом, так как

Следовательно, условия теоремы § 30.2 выполняются. Существование этих периодических решений является новым результатом: он не следует из рассуждений § 29.4.

Наконец, если то вблизи равновесного решения имеется третье семейство периодических движений, периоды которых близки к при этом ни ни не должно быть целым числом. Отношение равно целому числу если

Отсюда

Отношение является целым числом если

Отсюда

Таким образом, третье семейство периодических движений существует в окрестности равновесного решения тогда, когда к не является рациональным числом вида (30.6.7) или (30.6.9).