§ 7.15. Определение угловой скорости с помощью матриц

Допустим, что твердое тело переводится из данного положения в новое посредством трех последовательных поворотов: поворота на угол около оси затем поворота на угол около нового положения оси и поворота на угол около нового положения оси Как мы видели в § 7.13, матрица направляющих косинусов для конечного положения триэдра имеет вид

причем в общем случае эти операции не коммутативны.

Если, однако, углы поворота бесконечно малы и равны, скажем так что квадратами и произведениями этих величин можно пренебречь, то порядок осуществления поворотов безразличен. Имеем

Следовательно,

Таким образом,

Здесь (или сокращенно I) — матрица, составленная из производных от элементов матрицы кососимметрическая матрица

где составляющие вектора угловой скорости по осям

Геометрический смысл уравнения (7.15.4) очевиден. Так, например, элементы первого столбца матрицы I представляют собой составляющие по осям триэдра единичного вектора вдоль фиксированного направления Равенство нулю элементов первого столбца слева в (7.15.4) эквивалентно известному результату

В этой формуле и — единичный вектор вдоль оси угловая скорость относительно триэдра

Так как матрица I ортогональна, то из (7.15.4) получаем

Это уравнение выражает угловую скорость через матрицы Нетрудно непосредственно убедиться в том, что IV представляет собой кососимметрическую матрицу.