§ 14.7. Катастатическая система. Шесть теорем об энергии.

Рассмотрим теперь ряд изящных теорем, касающихся кинетической энергии системы при действии на нее ударных импульсов. В сокращенных обозначениях основные уравнения (14.4.3) и (14.4.4) записываются в виде

1) Приращение энергии системы без импульсивных связей. Имеем

где любая система скоростей, возможная в момент t. К ней принадлежат, в частности, векторы а также вектор В частности, можно взять вектор тогда получим

или

Приращение кинетической энергии равно сумме скалярных произведений каждого импульса на среднее арифметическое скоростей точки его приложения непосредственно перед приложением импульса и после него.

В частности, если система первоначально находилась в покое, то сообщенная ей энергия равна или, если суммирование производить по частицам,

2) Теорема Карно о потере энергии при наложении связи первого типа. При наложении такой связи потерянная энергия равна энергии потерянных скоростей. Потерянной скоростью частицы называется векторная разность ее скоростей до и после наложения связей. Имеем

Это равенство справедливо (§ 14.4) для любой системы скоростей , допустимой непосредственно после наложения связи, т. е. в момент . В частности, можно взять , тогда будем иметь

Но

так что (14.7.6) равносильно равенству

или

Здесь есть кинетическая энергия в момент, непосредственно предшествующий наложению связи, кинетическая энергия сразу после наложения

связи, кинетическая энергия потерянных скоростей, равная

Интересно отметить, что теорему Карно можно вывести из двух предыдущих теорем. Пусть система импульсов, сообщающая покоившейся системе движение со скоростью , а V — система импульсов сил реакции при наложенной связи. Если импульс будет приложен к покоящейся системе, то он вызовет относительное движение со скоростью и и энергия этого движения будет равна Приращение же энергии системы при наложенной связи что отличается от предыдущей величины лишь знаком, так как согласно

Следует остановиться на одном обстоятельстве, которое может вызвать недоразумения. Мы видели в § 14.5, что движение непосредственно после наложения связи определяется из условия минимума величины

С другой стороны, согласно теореме Карно потеря энергии равна

Но отсюда совсем не следует, что движение в момент таково, что потеря энергии минимальна.

3) Выигрыш энергии при наложении связи второго типа. При наложении такой связи энергия системы возрастает на величину, равную энергии приобретенных скоростей. Имеем

Это равенство справедливо (§ 14.4) для любой системы скоростей допустимой непосредственно перед наложением связи, т. е. в момент частности, можно взять Тогда будем иметь

Аргументы, аналогичные (14.7.7), показывают, что

Справедливость теорем 2) и 3) очевидна непосредственно из тривиальных примеров связей первого и второго типов, приведенных в § 14.2.

4) Теорема Бертрана. Предположим, что система, первоначально находившаяся в покое в некотором положении, приводится в движение заданной системой импульсов. Повторим мысленно этот эксперимент при тех же условиях, но с той лишь разницей, что теперь систему подчиним дополнительным (конечным) связям. Согласно теореме Бертрана, энергия системы во втором случае меньше энергии системы в первом случае на величину энергии потерянных скоростей (т. е. скоростей

Из (14.7.1) следует, что

Оба эти уравнения справедливы при следовательно.

Учитывая (14.7.7), получаем

Формулируя эту теорему, мы предполагали, что во втором опыте удар прикладывается к системе, на которую наложены конечные связи. Однако результат будет тем же самым, если импульсивная связь первого типа накладывается одновременно с ударом. Это обстоятельство позволяет трактовать теорему Бертрана как видоизменение теоремы Карно. В самом деле, в теореме Карно система приводится в движение заданными импульсами, а импульсивная связь первого типа накладывается сразу же после этого. В теореме же Бертрана (в условиях второго опыта) можно считать, что связь первого типа накладывается одновременно с приложением импульсов. В обоих случаях результат один и тот же, поэтому и содержание обеих теорем одинаково.

Теорему Бертрана иногда формулируют для двух условий эксперимента, соответствующих различным связям. Но результаты при этом не независимы: система, на которую наложено меньше связей, — это просто «система», какой она является в первом эксперименте приведенного выше доказательства.

5) Теорема Кельвина. Предположим, что система, находившаяся в заданном положении в покое, приводится в движение ударными импульсами, приложенными в определенных точках; скорости (но не импульсы) в точках удара будем считать заданными. Теорема Кельвина устанавливает, что при этих условиях энергия системы меньше, чем в любом другом движении., при котором указанные точки имеют заданные скорости.

Согласно (14.7.1) имеем

Обозначим через любую другую систему скоростей, при которой указанные точки имеют заданные значения скорости. Полагая находим

Правая часть этого равенства равна нулю, так как обращается в нуль всюду, где разность отлична от нуля. Поэтому

и, следовательно,

Замечание 1. Теорема остается в силе и тогда, когда направление удара в каждой точке, где он прилагается, задано, а также задана составляющая скорости вдоль этого направления. В самом деле, при этом условии скалярные произведения в каждой точке удара одинаковы, откуда и следует теорема.

Замечание 2. Теорема легко обобщается на случай, когда система в начальный момент не находится в покое. В этом случае имеем

что можно переписать в виде

Обычным путем находим

Теорема утверждает, что энергия потерянных скоростей при действительном движении минимальна.

Замечание 3. Теореме Кельвина можно придать форму, весьма близкую к теореме Бертрана. Для этого приведем рассматриваемую свободную систему в движение, задав соответствующим точкам определенные скорости. Пусть приобретенная энергия системы будет равна Затем повторим мысленно эксперимент, на этот раз с системой, на которую наложены связи. Приобретенную энергию системы в этом случае обозначим через Тогда будем иметь Наложение связи увеличивает энергию системы.

Связь между теоремами Бертрана и Кельвина можно продемонстрировать на следующем простом примере. Предположим, что стержень первоначально находившийся в покое, приведен в движение ударом, перпендикулярным к стержню в точке В. Повторим этот опыт при условии, что точка С стержня закреплена неподвижно. Если удар в точке В в обоих опытах будет одним и тем же, то наложение связи уменьшит энергию стержня. Если же в обоих опытах будет одинакова скорость в точке В, то наложение связи увеличит энергию. (Если точка С находится близко от точки В, то выигрыш в энергии при одной и той же скорости в точке В может быть весьма большим.)

Важно отметить, что связи, упоминаемые в замечании 3 к теореме Кельвина, не вполне произвольны: они должны согласовываться с заданными скоростями соответствующих точек. Фиксирование одной из таких точек может служить простым примером запрещенных связей.

6) Теорема Тейлора о связи между теоремами Бертрана и Кельвина. Произведем мысленно три опыта: а), и с). В каждом из них будем предполагать, что в начальный момент система находится в покое в некотором заданном положении.

а) В некоторых точках системы прикладываются ударные импульсы, сообщающие системе кинетическую энергию

б) Система подчинена связям и подвергается действию тех же ударных импульсов, что и в опыте а). Приобретенная кинетическая энергия системы в этом случае пусть будет равна По теореме Бертрана

с) Система подчинена тем же связям, что и в случае и к тем же точкам, что и в случае а), прикладываются ударные импульсы такие, что скорости этих точек становятся равными тем, что были в случае а); иными словами, эти точки получают такое же движение, как в случае а). Согласно теореме Кельвина

Теорема Тейлора утверждает, что т. е. что энергетический выигрыш в теореме Кельвина больше, чем потеря энергии в теореме Бертрана. Для доказательства достаточно заметить, что в уравнениях (14.7.13) и (14.7.14), используемых при доказательстве теоремы Бертрана, можно положить равно как и и при этом получаем

Это уравнение можно записать в форме

после чего обычным путем (см. (14.7.7)) находим

где

Отсюда получаем

что и требовалось доказать.