§ 3.8. Варьированный путь.

Используемый в принципе Гамильтона варьированный путь, вообще говоря, не является возможным, если система неголономна, иначе говоря, система не может следовать по варьированному пути без нарушения наложенных на нее связей. Для доказательства этого утверждения достаточно рассмотреть простой конкретный пример.

Пусть частица движется в пространстве, и пусть на нее наложена связь, выражаемая уравнением

где — функции от х, у, z класса и форма Пфаффа не допускает интегрирующего множителя. Исходная траектория, несомненно, удовлетворяет условию (3.8.1). Это же, согласно предположению, справедливо для вариаций траектории. Таким образом, имеем

Спрашивается, удовлетворяет ли варьированный путь этим условиям? Предположим, что это так, т. е. что справедливо равенство

Условие (3.8.3) соблюдается в любой момент времени, так что

Вычитая (3.8.4) из (3.8.5) и пользуясь (3.7.2), находим

или, подробнее,

Но согласно (3.8.2) и (3.8.3)

и поэтому (оставляя в стороне тривиальный случай, когда и перемещение происходит вдоль самой исходной траектории), учитывая (3.8.6) и (3.8.7), находим

Но равенство (3.8.8) невозможно, поскольку уравнение (3.8.1) неинтегрируемо. Предположение, что варьированный путь геометрически возможен, приводит, таким образом, к противоречию.

В случае голономной системы этой трудности не возникает и варьированный путь всегда оказывается возможным.