§ 30.5. Сходимость.

В этом параграфе мы докажем сходимость рядов функций по степеням для достаточно малых значений Рассуждения будем вести для случая гамильтоновой системы, когда и Воспользуемся обозначениями § 30.2 пусть коэффициент при в разложении функции полученном путем замены соответствующими рядами по степеням Сравнение коэффициентов при в формулах (30.2.18) — (30.2.20) приводит к следующим соотношениям:

Суммирование здесь производится от до Случаи являются аномальными. В первом из них первый член в левой части (30.5.1) заменяется на а во втором случае он заменяется на сравнивая в (30.2.18) коэффициенты при а в (30.2.19) коэффициенты при получаем

За исключением этих двух случаев, коэффициент при в (30.5.1) никогда не обращается в нуль, и существует положительная постоянная не зависящая от и такая, что

Из (30.5.1) тогда получаем

Далее имеем

Обозначим ряд

через Если этот ряд сходится, то сходится и ряд для Аналогичным образом, обозначим ряд

через а ряд

через Ряды получаются из заменой коэффициентов в степенных рядах их абсолютными значениями. Наконец, пусть обозначает ряд, полученный из ряда для заменой коэффициентов их абсолютными величинами. Умножая (30.5.4), (30.5.5) на и суммируя

по получаем

где

Условие (30.5.6) является основным для дальнейших рассуждений. Символ обозначает, что ряд в правой части является мажорирующим для ряда, стоящего слева. Символ мажоранты относится только к коэффициентам в формальном разложении в степенной ряд; применение этого символа не требует, чтобы ряды сходились.

Построим теперь мажоранту для ряда Функции предполагаются регулярными в окрестности точки следовательно, функций также регулярны в окрестности точки . То же самое относится к функциям получающимся из функций заменой коэффициентов в их разложениях по степеням соответствующими абсолютными значениями. Ряды для функций начинаются с квадратичных членов; отсюда следует, что существует положительная постоянная а такая, что

где

Отметим, что выражение в правой части равенства (30.5.8) пока рассматривается нами только, как сокращенное обозначение геометрического ряда, без какого-либо предположения о его сходимости. (Если ряд оказывается сходящимся в окрестности точки то геометрический ряд также сходится в некоторой, быть может меньшей, окрестности этой точки.) Символ в соотношении (30.5.8) относится (исключительно) к кратному степенному ряду по но, так как все коэффициенты этого ряда положительны, мы можем понимать этот символ в обычном смысле, когда обе части представлены в виде рядов по степеням Кроме того, из определения следует, что ряды по степеням связаны условием

Из (30.5.6) -(30.5.10) получаем

Остается установить сходимость рядов в окрестности точки Вследствие неотрицательности всех коэффициентов достаточно доказать сходимость рядов лишь для частного случая Если положить то левая часть (30.5.11) примет вид обозначим

Функция задается степенным рядом без постоянного члена. При будем иметь

и

Из (30.5.11) находим

Положив

получаем мажорирующие соотношения

Далее имеем

где а — наибольшее из двух положительных чисел Для наших целей достаточно доказать сходимость ряда Для малых положительных значениях

Рассмотрим уравнение

в котором есть степенной ряд по Положим

Коэффициенты легко определяются шаг за шагом путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях в соотношении . В самом деле,

Кроме того, шаг за шагом можно доказать, что так что ряд мажорирует ряд и сходимость первого из этих рядов влечет за собой сходимость второго. Если же сходится ряд то сходится ряд а отсюда в свою очередь следует сходимость рядов Равенство (30.5.19) можно переписать в виде

откуда

и, следовательно, ряд сходится, если Теорема, таким образом, доказана.