§ 7.7. Полуобороты и отражения.

Любой поворот тела можно также осуществить, например, путем двух полуоборотов (т. е. поворотов на угол около двух пересекающихся прямых. Пусть две прямые, проходящие через точку О и образующие между собой угол Полуоборот около и последующий полуоборот около эквивалентны повороту на угол а (в направлении от OA к ОВ) около оси , перпендикулярной как к так и к ОВ. Докажем это. Согласно теореме Эйлера (§ 7.2) два полуоборота эквивалентны одному повороту, и этот поворот должен происходить около оси так как точки на прямой при этих полуоборотах не получают перемещения. Точка, первоначально находившаяся на прямой при первом полуобороте остается неподвижной, а при втором полуобороте поворачивается на угол а и оказывается на прямой (рис. 14, а). Теорема, таким образом, доказана.

Если; через обозначить единичные векторы вдоль направлений а через как и ранее, единичный вектор вдоль вектора поворота направленного по оси вращения то будем иметь

Полуоборот около оси а и последующий полуоборот около параллельной оси эквивалентны поступательному перемещению тела. Оно совершается от а к по прямой, перпендикулярной к и равно удвоенному расстоянию между осями Это понятно, так как тело не изменяет своей ориентации, а направление и величина перемещения становятся очевидными, если рассмотреть точку тела, первоначально находившуюся на оси а.

Рассмотрим теперь результат двух последовательных полуоборотов около скрещивающихся осей Пусть будет общим перпендикуляром к этим осям (причем точка А расположена на оси а, а точка В — на оси и пусть а будет осью, проходящей через точку В параллельно оси а (рис. 14, b). Можно ввести два полуоборота около оси а, не изменяя конечного результата. Тогда полуоборот около оси а, за которым следует полуоборот около оси а, переместит тело в направлении А В на расстояние Затем полуоборот около оси а и последующий полуоборот около оси произведут поворот тела около оси на угол а, равный удвоенному углу между осями . В результате мы получим винтовое перемещение вдоль оси Таким образом, любое перемещение твердого тела можно осуществить посредством последовательных полуоборотов около двух надлежащим образом выбранных осей.

Рис. 14.

Кроме того, поворот тела можно осуществить посредством последовательных отражений в двух плоскостях. Одного отражения, естественно, недостаточно, так как при этом получается обратное отражение, но при повторном отражении мы получаем правильное положение тела, и, таким образом, два последовательных отражения дают возможное перемещение. Это перемещение представляет собой поворот тела около линии пересечения плоскостей отражения; угол поворота равен удвоенному углу между плоскостями.

Основываясь на эквивалентности вращения двум полуоборотам или двум отражениям, можно дать другие доказательства формулы поворота, что может представить интерес для читателя.