§ 10.11. Диссипативная функция Релея.

Если среди заданных сил имеются силы, зависящйе от скорости, то они могут оказать влияние на члены в уравнениях Лагранжа (6.2.1). В некоторых случаях, когда силы являются гироскопическими (например, в задаче о движении заряженной частицы в магнитном поле, § 10.6), они могут быть учтены путем присоединения к выражению для соответствующих линейных членов. В этом параграфе мы рассмотрим другой класс задач, связанных с силами, зависящими от скорости. Речь будет идти о силах сопротивления, или диссипативных силах, действующих на каждую частицу в направлении, противоположном ее скорости. Мы ограничимся исследованием простого случая, когда сила сопротивления пропорциональна скорости. Уравнения движения (2.2.12) запишутся теперь в форме

причем коэффициенты подобно коэффициентам будут иметь одно и то же значение для трех членов, относящихся к одной частице: Коэффициенты к, подобно коэффициентам положительны, но, в

отличие от они могут зависеть как от , так и от Так как при произвольном виртуальном перемещении

то основное уравнение (3.1.1) принимает теперь вид

Предположим, что система голономна и имеет степеней свободы, и введем лагранжевы координаты Рассмотрим простой случай, когда переменные х зависят только от и не зависят от а силы (т. е. заданные силы, не являющиеся диссипативными) консервативны. Первое слагаемое в левой части равенства (10.11.2) известным образом (§ 6.1) выражается через лагранжевы координаты, остается рассмотреть второе слагаемое

Согласно лемме 1 § 6.1 имеем

Отсюда

Введем диссипативную функцию Релея представляющую собой сумму выраженную через Эта функция в известном смысле аналогична функции кинетической энергии Т: она представляет собой однородную квадратичную форму переменных с коэффициентами, зависящими от и является определенно-положительной при всех значениях Уравнение (10.11.4) можно теперь представить в следующей форме:

Основное уравнение (10.11.2) после преобразования первого слагаемого (§ 6.1) принимает вид

Оно справедливо для произвольных значений таким образом, мы получаем уравнений движения

Физический смысл функции очевиден: численное значение в любой момент времени равно половине скорости потери энергии, расходуемой на преодоление трения. Это истолкование подтверждается и соотношением (10.11.7): умножая уравнение на и суммируя по от 1 до находим (см. § 6.7)

В качестве примера рассмотрим колебания системы около положения устойчивого равновесия при наличии диссипативных сил рассматриваемого типа. Диссипация, очевидно, способствует устойчивости. Как обычно, примем, что в точке О функция V равна нулю, так что (поскольку V имеет в точке О минимум) в окрестности точки О, но не в самой этой точке. Если при энергия имеет значение С, то согласно (10.11.8) при следовательно, при и равновесие устойчиво.

Приведенные рассуждения, однако, не являются полными. В общем случае при смещение стремится к нулю и колебание затухает. Когда смещение стремится к нулю, говорят об асимптотической устойчивости; когда же оно сохраняется малым (см. § 9.9), то говорят просто об устойчивости.

Докажем, что наличие диссипативных сил превращает обычную устойчивость в асимптотическую. Рассмотрим для простоты систему с двумя степенями свободы. Пусть х и у — главные координаты системы без затухания, так что

Введем теперь диссипативные силы, соответствующие диссипативной функции

где с достаточной степенью точности можно считать равными их значениям в положении равновесия. Уравнения движения запишутся в виде

Заметим, что если форма лишь знакопостоянная, то движение может и не быть асимптотически устойчивым, например, если то движение по координате х будет представлять гармоническое колебание. Если, однако, определенно-положительная форма, то обе переменные х и у стремятся к нулю при . В самом деле, решения уравнений (10.11.11) строятся как линейные комбинации членов где суть корни уравнения четвертой степени

причем все они имеют отрицательные вещественные части. В самом деле, пусть обозначает левую часть уравнения (10.11.12). Функция не имеет действительных или чисто мнимых нулей, и изменение при обходе контура, состоящего из отрезка действительной положительной полуоси, дуги большого круга в первом квадранте и отрезка положительной мнимой полуоси, равно нулю. Поэтому уравнение (10.11.12) не имеет корней в первом квадранте. Поскольку коэффициенты в уравнении действительны, его корни комплексно-сопряженные, и, следовательно, справа от мнимой оси уравнение не имеет корней. Таким образом, все четыре корня лежат слева от мнимой оси и действительные части их отрицательны.