§ 21.12. Дискретная устойчивость.

Перейдем теперь от линейного приближения к точным уравнениям (21.1.1). Предположим, что в определениях устойчивости и неустойчивости, данных в § 21.11, допускаются не все неотрицательные значения а только дискретные моменты времени где раз и навсегда фиксированная положительная постоянная. Точку на траектории, начинающуюся в называют иногда -образом точки Если рассматривать только указанные дискретные моменты времени, то мы придем к новому определению понятия устойчивости.

Равновесие называется устойчивым, если для заданного можно указать такое положительное число что если то при всех целых положительных значениях k.

Равновесие называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и если, кроме того, существует положительное число такое, что если то когда к стремится к бесконечности, пробегая целые положительные значения.

Неустойчивость означает отсутствие устойчивости. Иными словами, равновесие является неустойчивым, если можно указать положительное число такое, что существуют траектории, начинающиеся в произвольной близости от точки О и такие, что для некоторого целого положительного к выполняется неравенство

Введенное ранее (в § 21.11) понятие устойчивости можно условиться называть -устойчивостью (имея в виду непрерывное изменение а новое понятие устойчивости — -устойчивостью (имея в виду дискретный характер изменения

Докажем теперь, что оба определения устойчивости означают, по существу, одно и то же: -устойчивость означает -устойчивость, а -устойчивость означает -устойчивость. Аналогичные утверждения справедливы и в отношении асимптотической устойчивости, а также неустойчивости. Доказательство этих утверждений основано на следующей лемме. Пусть как и ранее, обозначает траекторию, начинающуюся в точке Если в момент изображающая точка находится в положении то в момент она занимает положение За промежуток времени изображающая точка проходит отрезок траектории, который мы будем называть -сегментом, начинающимся в Возьмем положительное число и пусть будет множеством точек всех -сегментов, начинающихся в точках внутри гиперсферы радиуса описанной вокруг точки О. Пусть будет верхней гранью расстояний точек множества от точки О. При указанных условиях будет непрерывной монотонно возрастающей функцией от обращающейся в нуль вместе с Положим функция непрерывна и монотонно возрастает, причем если (В частном случае линейного приближения причем

Эквивалентность двух понятий устойчивости теперь почти очевидна. Тем не менее приведем формальное доказательство.

Устойчив ость. То, что -устойчивость означает -устойчивость, очевидно. Остается доказать, что из -устойчивости следует -устойчивость. Предположим, что имеет место -устойчивость. Возьмем положительное число и пусть есть число, фигурирующее в определении D-устойчивости {т. е. такое, что если то при целых положительных значениях к). Положим и выберем точку так, чтобы

-сегмент, начинающийся в точке расположен внутри сферы радиуса х вокруг точки О. Тогда траектория, начинающаяся в точке где при всех целых положительных к обладает тем свойством, что Поэтому, если то при всех положительных t выполняется неравенство откуда следует -устойчивость.

Асимптотическая устойчивость. То, что асимптотическая -устойчивость означает асимптотическую -устойчивость, очевидно. Остается доказать, что асимптотическая -устойчивость означает асимптотическую -устойчивость. Предположим, что имеет место асимптотическая -устойчивость, и пусть х есть число, фигурирующее в ее определении (т. е. такое, что если то когда к стремится к бесконечности, пробегая целые положительные значения). Положим и пусть есть любая точка такая, что -сегмент, начинающийся в точке расположен внутри гиперсферы радиуса х вокруг точки О. Тогда траектория, начинающаяся в точке где обладает тем свойством, что когда к стремится к бесконечности, пробегая целые положительные значения. Поэтому, если то при откуда следует асимптотическая -устойчивость.

Неустойчивость. То, что -неустойчивость означает -неустой-чивость, очевидно. Остается доказать, что -неустойчивость означает -не-устойчивость. Предположим, что имеет место -неустойчивость. Тогда существует положительное число х такое, что, как бы мало ни было можно указать точку такую, что если то для некоторого из интервала выполняется неравенство где k — целое положительное число, -сегмент, начинающийся в точке расположен внутри гиперсферы радиуса вокруг точки О, так что расстояние между точками и О меньше заданного числа Через к шагов точка окажемся, однако, за пределами окружности радиуса х с центром в точке О, откуда и следует -неустойчивость.

Таким образом, мы доказали эквивалентность двух определений устойчивости и в дальнейшем можем не делать различия между -устойчивостью и -устойчивостыо, а говорить просто об устойчивости. Для того чтобы установить устойчивость какой-либо конкретной механической системы, можно воспользоваться любым удобным критерием, считая переменную t либо непрерывной, либо дискретной. Длительность основного интервала определяется нашим выбором; в ряде случаев эта величина естественно определяется самой задачей, в иных случаях можно положить