§ 25.7. Интегралы в инволюции.

Ранее (в § 24.14) было показано, что если мы имеем систему из функций класса находящихся в инволюции (т. е. таких, что скобка Пуассона любой пары функций тождественно равна нулю), и если якобиан

не обращается тождественно в нуль в соответствующей области пространства то существует контактное преобразование, переводящее в котором

Мы видели, что если уравнения (25.7.1) разрешить относительно и получить соотношения вида

то будем иметь

откуда следует, что существует функция такая, что

Соответствующее контактное преобразование задается уравнениями

Выясним теперь, как изменятся эти результаты, если в качестве функций взять интегралов динамической системы с функцией Гамильтона Как известно, в новых переменных уравнения движения имеют гамильтонову форму и характеризуются функцией равной сумме записанной в переменных Но будучи интегралами, не изменяются при движении, откуда следует, что мояет содержать ни одного Мало того, мы всегда можем выбрать такое контактное преобразование, которому соответствует функция тождественно равная нулю. Отсюда следует, что как и остаются неизменными в процессе движения. Следовательно, если известны интегралов, находящихся в инволюции, то существуют еще однозначных интегралов. Совокупность интегралов дает возможность построить полное решение задачи.

Докажем сначала, что функция получающаяся из путем исключения с помощью (25.7.2), удовлетворяет уравнениям

Если в правой части (25.7.2) заменить их выражениями (25.7.1), то получим тождественные соотношения относительно переменных продифференцировав их по получим

Поскольку являются интегралами уравнений движения, то

Используя соотношение (25.7.9), получаем

откуда с помощью (25.7.7) и (25.7.8) находим

Но, с другой стороны,

Правые части (25.7.12) и (25.7.13) в силу (25.7.3) отличаются только знаками, откуда следует (25.7.6).

Теперь легко доказать теорему. Из равенств (25.7.3) и (25.7.6) следует, что существует функция такая, что

Если теперь совершить контактное преобразование, получаемое из производящей функции (см. формулы (25.7.5)), то новая функция Гамильтона будет равна сумме записанной в переменных

Но согласно (25.7.14) функция тождественно равна нулю, откуда и следует теорема. Функции от образуют новых интегралов исходных уравнений Гамильтона. Эти интегралы находятся в инволюции (в силу условий для скобок Пуассона, выполняющихся при контактных преобразованиях, см. § 24.9).

Теорему можно представить в несколько иной форме. Разрешим уравнения

относительно выразив их в виде

Подставив теперь эти выражения для образуем функцию

Тогда выражение

будет полным дифференциалом функции а остальные интегралов гамильтоновой системы определятся формулами

Теперь становится очевидной тесная связь доказанной теоремы с теоремой Гамильтона — Якоби. Зная интегралов в инволюции, мы можем построить функцию по полному дифференциалу (25.7.18), и так как

то функция действительно представляет полный интеграл уравнения Гамильтона в частных производных.

Теорема принимает еще более простой вид, когда функции не содержат t. В этом случае мы имеем интегралов в инволюции

где

обозначает постоянную энергии. (Интегралы находятся в инволюции с следовательно, друг с другом.) Разрешая уравнения (25.7.21) относительно находим

причем функции равны

где Функция равна и остальные интегралов; имеют вид

Эти уравнения имеют вид, аналогичный уравнениям (16.5.5) — (16.5.7), полученным из теоремы Гамильтона — Якоби. Частный случай нами был исследован раньше с помощью теоремы о последнем множителе (§ 22.13).