§ 30.11. Периодические орбиты и теорема о кольце.

Рассмотрим динамическую систему с двумя степенями свободы. Положение системы будем описывать с помощью лагранжевых координат х, у. Движению системы отвечает перемещение изображающей точки в плоскости Предположим, что система допускает интеграл вида

где заданная функция от

При этих условиях движение системы происходит в области определяемой неравенством Будем рассматривать такие значения для которых область располагается внутри простой замкнутой выпуклой кривой а.

Основной интерес для нас представляет ограниченная задача трех тел, когда рассматривается движение планетоида относительно вращающихся осей (§ 28.2). Для этой задачи существует интеграл требуемого типа, а именно интеграл (28.2.6), и Если то область состоит частью из одной или двух внутренних областей, ограниченных снаружи замкнутыми выпуклыми кривыми, а частью из внешней области, ограниченной изнутри замкнутой выпуклой кривой (рис. 116а, b). В каждом из этих случаев внутреннюю область можно взять в качестве области

Скорость частицы в точках области по величине определяется формулой (30.11.1), что же касается направления скорости, то оно произвольно. Обозначим через угол, образуемый вектором скорости с осью и будем считать, что Тем самым каждой точке области мы поставим в соответствие бесконечное множество элементов, понимая под этим термином совокупность величины вектора скорости и наклона этого вектора к оси . В каждой точке граничной кривой а скорость равна нулю, так что точке этой кривой фактически соответствует один единственный элемент. Это замечание мы используем ниже при геометрической интерпретации.

Прежде всего совершим топологическое отображение области на область представляющую собой внутренность круга, границей которого является окружность а — образ кривой а. Рассмотрим движение изображающей точки в преобразованной области (см. § 21.2). Пусть точка области обозначим через ее образ, полученный в результате инверсии относительно окружности а. В плоскости, перпендикулярной к плоскости построим окружность на отрезке как на диаметре. Всякому направлению траектории, проходящей через точку (т. е. всякому элементу в точке поставим в соответствие определенную точку окружности При этом, например, значение будет соответствовать точке значение точке а значения отвечают точкам окружности для которых (Уравнением плоскости будет ; через обозначен угол наклона траектории в преобразованном движении к оси Если точка то ей соответствует бесконечно много точек; если же одна точка. Каждому элементу соответствует одна точка пространства, и, обратно, каждой точке пространства соответствует один единственный элемент.

Траекториям здесь поставлены в соответствие кривые С, образующие семейство к пространственных кривых; через каждую точку пространства проходит одна и только одна такая кривая С. Заметим, что при изменении направления движения на обратное картина траекторий изменяется. Замкнутым кривым С соответствуют периодические орбиты.

Предположим, что имеется периодическая траектория устойчивая по первому приближению (§ 23.1). Выберем единицу времени такой, чтобы период был равен Обозначим через замкнутую кривую семейства х, соответствующую траектории и построим поверхность натянутую на кривую участок этой поверхности, ограниченный кривой обозначим через А. Предположим, что область А односвязная и является областью без контакта, т. е. ни одна кривая С не касается поверхности в точках А (сравните с понятием отрезка без контакта в § 20.3).

Возьмем точку в области А. Через эту точку проходит только одна кривая С. Будем двигаться вдоль этой кривой до нового пересечения с поверхностью А в точке эту точку назовем последующей точкой по отношению к Преобразование переводящее точку в точку представляет топологическое отображение области А на себя.

Может показаться, что для некоторого положения точки преобразование будет разрывным. Однако это невозможно. В самом деле, возьмем последовательность точек в которых траектория С

пересекает область А, и предположим, что при перемещении точки из положения точки сначала совпадают, а затем становятся мнимыми, так что последующей точкой для оказывается точка Но это невозможно, потому что поверхность А является областью без контакта. По той же причине между точками не могут появиться две новые точки пересечения, т. е. последующей точкой для не может стать точка вместо точки Кроме того, при перемещении точки из полояшния точка не может пересечь траекторию так как через точку этой кривой, кроме нее самой, никакой другой траектории не проходит.

Преобразование обладает положительным интегральным инвариантом; доказательство этого утверждения аналогично доказательству § 22.17. Если точка совпадает с или с любой из других последующих точек то кривая С оказывается замкнутой, а изображаемая ею траектория — периодической.

Рассмотрим преобразование для точек близких к границе области А. Пусть кривая класса К, проходящая через точку т. е. кривая, соответствующая траектории которая проходит в непосредственной близости от Чтобы составить приближенные уравнения кривой обратимся к методам § 23.4. Выберем такую систему координат чтобы 1) положение точки на траектории зависело только от и, у, а направление элемента траектории — также и от уравнение траектории имело вид а переменная и при полном обходе замкнутой кривой изменялась от до При движении вдоль кривой имеем

где периодическая функция с периодом

Если характеристические показатели устойчивой периодической орбиты равны то уравнения кривой можно записать в виде (см. § 23.5)

где а постоянные интегрирования, причем а мало, а через обозначено так что

откуда видно, что все время возрастает вместе с .

Точки пересечения кривых получим, положив Тогда будем иметь

где целое число. Если одна из таких точек, а следующая за ней точка пересечения, то точку называют кинетическим фокусом точки Значения переменной в точках кривой связаны между собой соотношением

Поверхность на которой расположена область А, определится уравнением

Разложение функции по степеням не содержит постоянного члена, поскольку кривая расположена на поверхности (30.11.7). Поэтому линеаризованное уравнение этой поверхности имеет вид

где периодические функции от и. Чтобы найти точки пересечения кривой с поверхностью А, подставим выражения (30.11.3) для в уравнение (30.11.8). Проделав это, получим

где периодические функции от . Уравнение (30.11.9) можно представить в эквивалентной форме

где Следовательно, к является функцией от , производная которой есть периодическая функция. Поэтому можно представить в виде где целое число, а периодическая функция. Точки пересечения кривой с поверхностью А определяются уравнением (30.11.10), и, следовательно, величина кратна . Но поскольку область А ограничена кривой и за пределы этой кривой не распространяется, сумма кратна четному числу :

где k — целое число. Если две последовательные точки пересечения, то имеем

где относятся к точке к точке

Функция есть монотонная функция от . Докажем это. Обозначим левую часть равенства (30.11.10) через Если найдется такое значение и, при котором т. е. при котором

то на кривой будет иметься точка, которой она касается поверхности А.

Если для некоторого значения переменной и функция обращается в нуль, то, взяв для значение в этой точке, равное мы удовлетворили бы обоим уравнениям (30.11.13). Но это невозможно, поскольку поверхность А есть поверхность без контакта. Отсюда следует, что функция никогда в нуль не обращается, т. е. сохраняет свой знак; без ограничения общности его можно принять положительным. Введем вместо и новую переменную

которая монотонно возрастает вместе сии увеличивается на при одном полном обходе кривой Положение точки на кривой можно фиксировать, вместо и, параметром Если точка находится вблизи кривой есть последующая точка для то будем иметь

где есть значение в точке значение в точке

Рассмотрим теперь топологическое отображение области А на внутренность круга и, применяя полярные координаты, отобразим кривую на окружность вдоль которой Преобразование переводит окружность в себя, и при этом каждая точка окружности перемещается на угол Такое преобразование имеет нечетное число неподвижных точек, каждой из которых соответствует периодическая орбита.

Из этих орбит по крайней мере одна устойчива по первому приближению; пусть это будет орбита, соответствующая неподвижной точке Совершим еще одно топологическое отображение круга на себя такое, чтобы точка перешла в центр круга, а точки окружности подверглись бы такому же преобразованию, что и прежде. В результате получим преобразование которое оставляет центр круга неизменным, а границу его отображает на себя, причем все точки границы передвигаются против хода часовой стрелки на один и тот же угол.

Рассмотрим теперь действие этого преобразования на точки, лежащие в непосредственной близости от центра круга.

Пусть есть периодическая орбита, проходящая через точку Возьмем систему координат Эти координаты отличаются от введенных ранее для кривой поскольку теперь поверхность содержащая область А, имеет уравнение При таком выборе координат уже невозможно определить положение точки на траектории заданием одних лишь значений и , а изменение направления элемента — изменением одной только переменной Но это сейчас не имеет большого значения. Кривая С, проходящая вблизи от описывается уравнениями

Здесь а мало, а равно

где периодическая функция и, а характеристические показатели устойчивой периодической орбиты равны Если и изменяет свое значение на то х изменяет свое значений на Можно выбрать полярные координаты таким образом, чтобы для точек, близких к (т. е. для малых значений ), имели место приближенные равенства

где берутся для .

Если точка расположена вблизи от центра то при переходе от к последующей для нее точке переменная и возрастает на на или, поскольку 6 определено только по ее приращение может где целое число. При этом, если значение известно для какой-нибудь одной точки, то в силу непрерывности оно известно и для всех точек.

Рассмотрим теперь преобразование где целое положительное число. Это преобразование переводит внутреннюю часть круга в себя, а его границу — в границу преобразованного круга. Преобразование обладает положительным интегральным инвариантом. Если то, как мы знаем, на окружности мы будем иметь

а вблизи от точки

Преобразование останется прежним, если заменить на где целое число; при этом на окружности будем иметь

а вблизи от точки

Выберем число так, чтобы выполнялось условие Тогда можно указать бесконечно много пар значений таких, что либо

либо

Таким образом, условия теоремы Пуанкаре (для случая, когда внутренний радиус кольца стремится к нулю) оказываются выполненными. Поэтому, если теорема верна и если существует одна устойчивая периодическая орбита то существует бесконечно много таких периодических орбит.