§ 25.4. Другие доказательства теоремы Якоби.

В § 25.1 мы привели доказательство теоремы Якоби об инвариантности формы уравнений движения по отношению к контактным преобразованиям. Это доказательство основывалось на теореме эквивалентности и, возможно, является простейшим. Тем не менее ввиду важности теоремы Якоби мы приведем еще два доказательства ее, каждое из которых представляет самостоятельный интерес. Одно из них связано с рассмотрением производящих функций контактных преобразований (§ 24.2 и § 24.3) и включает в себя некоторые приемы, которые окажутся полезными впоследствии. Другое доказательство основано на использовании симплектического свойства матрицы (§ 24.13); оно показывает, между прочим, что контактное преобразование не является самым общим преобразованием, при котором уравнения Гамильтона сохраняют свою форму.

Второе доказательство теоремы Якоби. Будем определять контактное преобразование с номощыо производящей функции. Для определенности возьмем случай, когда преобразование не связано с какими-либо предварительными тождественными соотношениями между переменными . В этом случае уравнения преобразования записываются в форме (24.2.7) — (24.2.9):

Докажем сначала две леммы.

Лемма 1. Предположим, что общее решение уравнений Гамильтона имеет, вид

где функции принадлежат к классу области пространства Пусть, далее,

Тогда и

Доказательство следует немедленно, поскольку

где повторяющийся индекс означает суммирование от 1 до Лемма, таким образом, доказана.

Лемма 2. Обратно, пусть суть независимых функций класса от переменных Если существует функция такая, что

то переменные удовлетворяют уравнениям Гамильтона

в которых функция получается из функции если последнюю выразить через

Разрешим уравнения (25.4.2) относительно переменных у, выразив их, таким образом, через и составим функцию в соответствии с (25.4.7). Тогда будем иметь

С другой стороны, из (25.4.4) получаем

Сравнивая (25.4.8) и (25.4.9), находим

Всего имеем таких соотношений, по одному для каждого из индексов определитель этой системы однородных уравнений не равен нулю, откуда и следует утверждение леммы.

Читатель, без сомнения, заметит тесную аналогию между доказанными леммами и двумя частями теоремы эквивалентности (§ 16.3). Приводимое ниже доказательство теоремы Якоби по существу мало отличается от доказательства, данного в § 25.1, различие между ними заключается лишь в деталях.

Перейдем теперь к доказательству теоремы Якоби. Переменные определяемые соотношениями (25.4.2), удовлетворяют уравнениям Гамильтона (25.4.6). Перейдем в них кновым переменным с помощью контактного преобразования (25.4.1). Выразим функцию через

Тогда для принимающих любое из значений будем иметь

и

Функция следовательно,

Из (25.4.12) и (25.4.13) получаем

Таким образом,

где обозначает сумму выраженную через у и t. Если через обозначить скобки Лагранжа для то будем иметь

Отсюда, в соответствии с леммой 2, заключаем, что переменные удовлетворяют уравнениям Гамильтона

где обозначает сумму записанную в переменных Теорема Якоби, таким образом, доказана.

Аналогично проводится доказательство и в других случаях. Допустим, например, что между переменными нет никаких тождественных соотношений, и возьмем контактное преобразование с производящей функцией определяемое уравнениями (24.3.9). Если то уравнения приведут к формулам (25.4.17), откуда и следует утверждение теоремы.

Третье доказательство теоремы Якоби. Мы видели в § 22.1, что уравнения Гамильтона могут быть записаны в форме

где матрица-столбец, составленная из элементов матрица-столбец, составленная из элементов Перейдем к новым переменным

причем будем считать это преобразование обратимым в некоторой области пространства Тогда будем иметь

где через К обозначена функция Гамильтона, выраженная через переменные

Здесь обозначает матрицу матрицу (см. § 24.13). Таким образом,

и, следовательно,

В новых переменных уравнения движения запишутся в форме

или

До сих пор мы не делали никаких предположений относительно характера преобразования координат. Теперь мы предположим, что это преобразование является контактным. Для контактного преобразования

и уравнения движения в новых переменных принимают гамильтонову форму

при условии, что матрица-столбец имеет вид Доказать это весьма просто. Если временно обозначить через и, то указанное условие будет состоять в том, что для всех значений

или, что то же,

Последнее равенство выполняется в том случае, если матрица получается из дифференцированием каждого элемента частным образом по является симметрической, т. е.

Так как то условие (25.4.31) эквивалентно следующему:

Это означает, что матрица не зависит от времени, что, несомненно. имеет место в силу (24.13.7). Теорема Якоби, таким образом, доказана.

Рассмотрим преобразование, удовлетворяющее более общему условию, нежели (25.4.27), а именно:

где А — скалярный множитель, отличный от нуля. При этом справедливо равенство

и новые уравнения движения сохраняют, как и прежде, гамильтонову форму (25.4.28). Условие (25.4.33) представляет обобщение условия (25.4.27); поэтому, вообще говоря, целесообразно расширить понятие контактного преобразования и включить в него более широкий класс преобразований, удовлетворяющих условию (25.4.33). Однако мы сохраним за преобразованиями, для которых

Обратно, если мы будем исходить из общего преобразования (25.4.20) и будем искать условия, при которых новые уравнения движения (25.4.26) сохраняют форму Гамильтона, то придем к выводу, что преобразование

должно удовлетворять условию (25.4.33). Действительно, правая часть уравнения (25.4.26) должна иметь форму Для любой функции Гамильтона откуда следует, что такую форму должен иметь каждый член этой части. Отсюда приходим к равенству (25.4.33).