частица под номером 
будет иметь координаты 
Массу этой частицы будем обозначать через 
или 
Такой способ обозначения практически оказывается более удобным.
В тех случаях, когда мы захотим сосредоточить свое внимание на 
частицах, а не на 
координатах, мы будем координаты частицы массы 
обозначать через х, у, z, а суммирование по 
частицам — через 
. Таким образом, выражения
и
будут обозначать одно и то же. Последнее выражение можно записать немного проще, если отбросить индексы; тогда будем иметь
Такую сокращенную форму записи (с отброшенными индексами) мы будем применять, не опасаясь путаницы, когда будем подразумевать суммирование по 
Частицы находятся под действием заданных сил 
составляющие силы, действующей на 
частицу, будут 
Задать силы — значит задать их как функции 
Иногда 
удобно рассматривать как координаты изображающей точки в 
-мерном пространстве. Эту точку, или вектор 
мы будем обозначать символом х. Подобным же образом, сила 
будет обозначаться через X, скорость 
— через 
или и и т. д.
Возможные перемещения частиц не являются произвольными (за исключением задачи 
тел, где мы имеем совокупность 
свободных частиц): они связаны 
уравнениями связи
Коэффициенты 
функции класса 
определенные в некоторой области значений 
Уравнения (2.2.4) предполагаются независимыми, а число их — наименьшим. Это означает, что ранг матрицы из коэффициентов равен 
(хотя практически для отдельных значений 
ранг матрицы может быть меньше 
В уравнениях
можно задать 
значений 
остальные 
значений х определятся из уравнений. Величина
определяет число степеней свободы системы; оно равно числу составляющих скорости, которые могут быть заданы произвольно.
В простейшем и наиболее распространенном случае система уравнений Пфаффа (2.2.4) вполне интегрируема, т. е. эквивалентна 
уравнениям вида
где
В этом случае система называется голономной и уравнения связи могут быть записаны в виде
Практически уравнения связи часто задаются не в форме (2.2.4), а в форме (2.2.8), причем постоянные 
имеют заданные значения.
Каковы бы ни были действующие на систему силы, движение ее подчиняется уравнениям связи (2.2.5). Процедура, с помощью которой это достигается, была проиллюстрирована ранее на примерах. Вводятся реакции связи 
(или, короче, реакция связи X), подчиненные условию, что они не совершают работы на любом виртуальном перемещении. Виртуальное перемещение определяется как любое перемещение 
удовлетворяющее уравнениям
Поэтому
для любого перемещения 
удовлетворяющего (2.2.9.) Реакции связи получаются такими, что движение под действием совокупной системы сил удовлетворяет уравнениям (2.2.5).
Изложенная теория позволяет определить движение в общем случае. Уравнения (2.2.10) и (2.2.9) показывают, что величины 
могут быть выражены с помощью 
множителей 
Уравнения движения
принимают вид
К ним следует присоединить 
уравнений связи 
Система 
уравнений (2.2.13) и (2.2.5) определяет 
переменных 
как функции от t. Теоретически можно определить движение в некотором интервале времени, содержащем момент 
если заданы значения переменных 
при 
Мы получили уравнения движения произвольной механической системы в простой и ясной форме. Тем не менее для практики эта форма уравнений движения не очень удобна. В конкретных задачах нас, как правило, не интересуют величины X (связанные с величиной реакций связи); по этой причине мы в следующей главе представим основные уравнения в другой форме, не вводя множители Я.
частиц и примем, что каждая частица сохраняет в процессе движения свою индивидуальность, так что о каждой из них можно сказать: «Вот частица, которая в момент 
была там-то, а сейчас находится здесь». Таким образом, мы можем пронумеровать все частицы и раз навсегда приписать им номера 
Массу каждой частицы мы будем считать постоянной (хотя это предположение и не является существенным для самого понятия механической системы; позже, в гл. XI, мы рассмотрим случай, когда масса частицы известным образом зависит от ее скорости). Координаты частиц относительно неподвижной прямоугольной системы осей будем обозначать через 
где 
так что
