§ 19.7. Движение в окрестности узла.

Соответствующим аффинным преобразованием координат уравнения можно привести к виду

Здесь мы вместо ввели новые переменные х, вместе с Рассмотрим более подробно случай

Введем в новой плоскости полярные координаты, тогда для радиальной составляющей будем иметь

где (см. (19.4.14)). Отсюда следует, что существуют расстояние и положительное число такие, что для

Рассмотрим теперь характеристику начинающуюся в точке внутри круга радиуса Поскольку изображающая точка располагается в этом круге и при и

Следовательно,

Рис. 81.

Таким образом, если то и каждая положительная полухарактеристика, начинающаяся в достаточно малой окрестности точки О, приближается к О. Более того, траектория входит в точку О либо вдоль оси либо вдоль оси В самом деле, можно показать, что отношение при стремится либо к либо к либо к нулю. Для этой цели возьмем угол и рассмотрим углы раствором 26 каждый (рис. 81). Для поперечной составляющей имеем

так что вне углов будем иметь

Следовательно, существуют расстояние и положительное число такие, что в точках вне областей и внутри круга радиуса

выполняется неравенство

Вообще говоря, чем меньшее значение мы берем для темменьшее значение нужно для Области, расположенные внутри круга радиуса вне секторов будем обозначать через (рис. 81). Угловая скорость изображающей точки равна в областях имеем

а в областях

Рассмотрим положительную полухарактеристику, начинающуюся в точке области Так как то траектория стремится к точке О, и поскольку в области изображающая точка входит в область Но, оказавшись в области изображающая точка остается в ней. Для доказательства достаточно указать направление поля в точках на границе сектора. Траектория может пересекать ось Далее, заменим на и рассмотрим точку на той же траектории в момент времени выбранный так, чтобы Если точка в этот момент еще не находится в области то, рассуждая, как и выше, заключаем, что она попадет туда и останется там.

Таким образом, применяя повторно этот метод, мы видим, что при любом заданном как бы мало оно ни было, существует время такое, что при

и траектория входит в точку О вдоль положительной оси у.

Если изображающая точка начинает движение в момент из области то траектория опять-таки входит в точку О вдоль положительной оси у. Если она начинает движение из области или 54, то траектория входит в точку О вдоль отрицательной оси у. Каждая положительная полухарактеристика, которая не входит в точку О вдоль оси х, входит в нее вдоль оси у.

Остается открытым вопрос, существует ли траектория, которая входит в точку О вдоль оси х. На этот вопрос можно дать утвердительный ответ. Для доказательства рассмотрим дугу окружности лежащую в области Предположим, что в момент изображающая точка начинает свое движение из некоторого положения на дуге Если ни одна из начинающихся на дуге положительных полухарактеристик не входит в точку О вдоль оси х, то все эти кривые входят в точку О вдоль оси у сверху или снизу. Одни из них попадут в область (и войдут в точку О вдоль положительной оси другие попадут в область (и войдут в точку О вдоль отрицательной оси Поэтому на дуге можно указать два непустых множества точек, в зависимости от того, входит ли траектория в область или Эти множества являются открытыми, поскольку решение изменяется непрерывным образом в зависимости от начальной точки, так что на дуге существует хотя бы одна точка, которая не принадлежит ни одному из этих множеств. Эта точка дает начало траектории, входящей в точку О по направлению оси (Существует, однако, важное отличие от линейного случая, состоящее в том, что траектория, входящая в точку О вдоль оси не. обязательно является единственной Так, например, система

имеет бесконечное множество траекторий, входящих в точку О вдоль оси в частности кривые

Итак, поведение в окрестности узла в основном такое же, как и в рассмотренном ранее линейном приближении.

Случай, когда можно исследовать аналогичным образом; устойчивость узла определяется одними лишь линейными членами. В обычных случаях, когда имеют порядок узел остается узлом. В более общем случае, когда узел может превратиться в фокус.

Пример 19.7. Рассмотрим систему, движение которой описывается уравнениями

где

а

Если в начальный момент то

и траектория стремится к точке О. Кроме того, имеем

Интегрируя, получаем

так что особенностью полного поля является фокус. Согласно линейному приближению особенность представляет собой устойчивый узел.