§ 8.6. Вращающийся волчок; основные уравнения.
Волчок представляет собой твердое тело, обладающее осевой симметрией; острие его О, расположенное на оси, остается неподвижным, и вращение его происходит вокруг точки О под действием силы тяжести. Свяжем с телом триэдр 
направив ось 
по оси симметрии; тогда оси 
будут главными осями инерции в точке О, а моменты инерции относительно осей 
и 
будут одинаковы. Центр тяжести 
лежит на оси 
Обозначим главные моменты инерции в острие через 
массу волчка — через 
а расстояние 
через 
При 
мы приходим к задаче о сферическом маятнике, рассмотренной в § 5.3.
С чисто динамической точки зрения условие симметричности тела относительно оси является излишним. Уравнения, которые мы выведем, будут справедливы для любого тела, эллипсоид инерции которого в точке 
является сфероидом с точкой О на его оси.
Вводя углы Эйлера для определения ориентации триэдра 
и направляя ось 
вертикально вверх, напишем выражения для кинетической и потенциальной энергии тела:
Уравнение Лагранжа для 
запишется в виде
а интегралы импульсов, соответствующие циклическим координатам 
будут иметь вид
Уравнение (8.6.4) выражает постоянство момента количеств движения относительно оси 
(величина его обозначена через 
а уравнение (8.6.5) — постоянство спина, т. е. составляющей угловой скорости вдоль оси волчка (величина его обозначена через 
Мы будем считать, что 
в большей части случаев, представляющих практический интерес, это число довольно велико.
Уравнения, определяющие 
и 
как функции от t, т. е. уравнения, описывающие движение оси волчка, приобретают вид
Здесь 
параметры 
положительны.
Получим теперь интеграл энергии. Это можно сделать непосредственно из уравнений движения либо с помощью общей теоремы (§ 6.7). Его можно представить в форме
Для некоторых целей уравнение (8.6.8) оказывается более удобным, чем (8.6.6). Исключая 
из (8.6.7) и (8.6.8), приходим к уравнению
где 
Обозначим полином третьей степени в правой части (8.6.9) через 
Зависимость z от t может быть выражена посредством функции Вейерштрасса, как в случае сферического маятника (к которому сводится наша задача, если 
Далее,
Мы приходим к трехпараметрической совокупности движений (не рассматривая фазовые постоянные, зависящие от выбора начала отсчета 
от параметров 
