§ 27.4. Теорема Уиттекера.

Интересно попытаться дать элементарный вывод принципа наименьшего действия в форме Якоби для простого случая плоского движения частицы в поле консервативных сил. Рассмотрим в плоскости дугу С. Обозначим через длину этой дуги между начальной точкой А и текущей точкой а через наклон внешней нормали в точке к оси Будем предполагать, что вдоль кривой С угол все время возрастает вместе с и является дифференцируемой функцией от . В частности, если кривая замкнута, то она выпуклая. Найдем вариацию функционала

при переходе от кривой С к кривой получающейся из С путем смещения ее на расстояние в направлении внешней нормали. Предполагается, что смещение непрерывно изменяется в зависимости от Вариация функционала равна

Но

где составляющая силы поля вдоль внешней нормали, а

где радиус кривизны кривой С в точке . В результате получаем

Используем сначала эту формулу для вывода принципа наименьшего действия в форме Якоби в одном частном случае. Предположим, что дуга кривой С между точками является частью траектории, и положим вариацию в точках равной нулю. Обозначая скорость частицы через можем написать

и, следовательно, подынтегральная функция в (27.4.5) обращается в нуль в каждой точке кривой С. Отсюда следует, что Таким образом, мы пришли к результату Якоби.

Теперь используем формулу (27.4.5) для доказательства теоремы Уиттекера о существовании простых периодичесих траекторий. Выберем значение таким, чтобы во всей рассматриваемой области выполнялось неравенство Пусть С — простая замкнутая выпуклая кривая указанного выше типа; рассмотрим функцию

в точках этой кривой. Если всюду вдоль кривой выполняются неравенства то согласно Таким образом, при этих условиях значение функционала I уменьшается при переходе от кривой С к соседней простой замкнутой кривой, окружающей С. Предположим теперь, что существует другая простая замкнутая выпуклая кривая окружающая кривую С и такая, что во всех ее точках Тогда, если в каждой точке кривой то и значение I уменьшается при переходе от кривой к соседней простой замкнутой кривой, лежащей целиком внутри области, ограниченной кривой

Рассмотрим, далее, значения функционала I на простых замкнутых кривых семейства х, расположенных внутри кольца, ограниченного кривыми Предположим, что это кольцо не содержит особых точек функции Мы видели, что значения убывают при перемещении кривой наружу от кривой С или внутрь от кривой Предполагая, что значения на кривых семейства х ограничены и что точная нижняя грань этих значений достигается на некоторой кривой семейства, приходим к выводу, что существует по крайней мере одна кривая для которой На этой кривой функционал достигает минимального значения. Очевидно, что кривая не может совпадать как с кривой С, так и с кривой ни целиком, ни какой-либо частью. Таким образом, если на кривой а на кривой то в кольцевой области, ограниченной этими кривыми, существует по крайней мере одна периодическая траектория.

Рассмотрим, в частности, случай, когда кривые сами являются периодическими траекториями, причем кривой С соответствует энергия а кривой энергия где Пусть любое число, лежащее в интервале между

Тогда вдоль кривой а вдоль кривой следовательно, по доказанной только что теореме существует замкнутая траектория

с энергией расположенная в кольцевой области, ограниченной кривыми Мы приходим, таким образом, к однопараметрическому семейству периодических орбит (см. § 15.8, п. 6).