§ 25.5. Постоянство скобок Лагранжа.

Если общее решение уравнений Гамильтона для заданной динамической системы имеет вид

то скобка Лагранжа сохраняет постоянное значение в течение всего времени движения.

Как мы знаем, эта теорема справедлива, когда параметры у представляют начальные значения переменных в самом деле, в этом случае переменные связаны уравнениями контактного преобразования, и мы имеем

Отсюда можно получить доказательство и для общего случая. Однако проще воспользоваться билинейным ковариантом (§ 24.8). Как известно, выражение

при контактных преобразованиях сохраняется неизменным; в частности, оно остается постоянным во время движения механической системы. Обозначим через вариацию траектории в фазовом пространстве, обусловленную изменением одного только а через вариацию траектории, обусловленную изменением одного только у,- Тогда будем иметь

откуда и следует сформулированная выше теорема.

К этому результату можно прийти и из рассуждений § 25.4, касающихся второго способа доказательства теоремы Якоби. Как и в (25.4.3), положим

при этом и

(см. (25.4.4)). Легко убедиться в справедливости тождества

которое аналогично тождеству Пуассона (§ 22.2). Отсюда получаем

Теорема, таким образом, доказана.