§ 7.2. Теорема Эйлера.

Согласно этой теореме (полученной Эйлером в 1776 г.) всякое перемещение тела с одной закрепленной точкой О представляет собой вращение. Иными словами, любое изменение ориентации тела можно произвести путем поворота тела около некоторой оси, проходящей через точку О.

Ориентация тела определяется направлениями двух линий фиксированных в теле. Отрезки и удобно взять единичной длины, тогда точки будут фиксированными точками тела на единичном расстоянии от неподвижной точки О. Представим себе две сферы с центром в общей точке О: сферу радиуса единица, неподвижную в пространстве, и бесконечно тонкую сферическую оболочку с внутренним радиусом единица, неизменно связанную с телом и движущуюся вместе с ним.

Предположим, что при некотором перемещении тела точка А оболочки переходит в точку В, а точка оболочки, находившаяся ранее в В, переходит в точку С (отрезок при этом выбран произвольно, а отрезок определен только что указанным условием). Плоскость пересекает неподвижную сферу по окружности (рис. 10). Пусть какой-либо полюс этой окружности. Равнобедренные треугольники и равны: дуги и равны, поскольку представляют одну и ту же дугу движущейся сферической оболочки в двух положениях. Следовательно, дуга А В может быть переведена в положение путем поворота около оси на угол

Рис. 10.

Отметим некоторые особые случаи. Если точка В совпадает с точкой А, то теорема очевидна и перемещение представляет собой поворот около оси Если В не совпадает с А, но С совпадает с А, то в этом случае имеются две возможности. 1) Если точки не лежат на одной прямой, то через точки проходит один большой круг и перемещение представляет собой полуоборот (т. е. поворот на угол ) вокруг оси где середина любой из дуг А В большого круга. 2) Если же точки лежат на одной прямой, то предыдущие рассуждения теряют силу. В этом особом случае точки располагаются на противоположных концах диаметра оболочки и направлений и недостаточно для определения ориентации тела. Через точки теперь проходит не одна единственная дуга большого круга. В этом случае поступим следующим образом. Возьмем какую-нибудь точку А оболочки; она может быть произвольна, за исключением того, что не должна совпадать с точкой А и не должна быть диаметрально противоположной ей. При этом направления и полностью определяют ориентацию тела. Построим точки связанные с А точно так же, как точки связаны с А. Точка совпадает при этом с А (так как иначе точка С не совпадала бы с А). Если точки не лежат на одной прямой, то доказательство завершается так, как мы показали выше. Если расположены на одной прямой, то перемещение представляет собой полуоборот около оси где любой полюс дуги большого круга Мы видим, что трудности возникают в случае, когда поворот равен полуобороту; с этим мы еще встретимся в дальнейшем.

Теорема Эйлера эквивалентна утверждению, что для любых двух ориентаций тела можно указать единственную фиксированную в теле прямую направление которой (равно как и направление вращения) остается неизменным. Любая прямая, фиксированная в теле и параллельная остается после вращения параллельной первоначальному направлению. Сечение тела плоскостью, перпендикулярной к может быть переведено в конечное положение путем перемещения в своей собственной плоскости.

Основываясь на этой новой точке зрения, можно дать другое доказательство теоремы Эйлера. Отрезок можно перевести в новое положение совершая полуоборот около оси где середина дуги большого круга. После этого тело можно перевести в конечное положение путем

поворота, скажем, на угол около оси Можно считать, что дуга и Но при полуобороте около и последующем повороте на угол около одна прямая тела остается неподвижной. Для доказательства этого построим сферические треугольники и как показано на рис. 11. Дуга перпендикулярна к биссектрисе и каждый из углов равен Рисунок относится к случаю, когда вращение около на угол, меньший , происходит в положительном направлении. Полуоборот около переводит точку на движущейся оболочке из первоначального положения в положение а поворот около А переводит точку в положение Поэтому прямая в твердом теле остается неподвижной, и два эти перемещения в совокупности эквивалентны одному повороту около этой прямой.

Рис. 11.