§ 24.3. Другие формулы.

Некоторых неудобств, связанных с введением множителей, можно избежать, если немного изменить ход решения. Рассмотрим еще раз случай, когда якобиан (24.2.6) тождественно равен нулю, так что переменные связаны по крайней мере одним тождественным соотношением. Но будем предполагать, что якобиан

не равен тождественно нулю. Тогда уравнения (24.2.1) можно разрешить относительно переменных выразив их через Если теперь уравнение (24.2.5) записать в форме

положив и функции выразить через переменные то мы придем к следующим формулам:

Таким образом, контактное преобразование выражено нами посредством производящей функции

Итак, мы рассмотрели два способа получения контактных преобразований с помощью производящих функций; можно указать еще два способа получения преобразований этого типа. Рассмотрим контактное преобразование, в котором переменные не связаны никакими тождественными соотношениями (малыми буквами х здесь обозначены либо все переменные либо все переменные а большими буквами X — либо все либо все Возьмем в фундаментальном соотношении и X в качестве независимых переменных. Легко проверить, что формулы

содержат в себе как ранее полученные соотношения (24.2.7), (24.2.8) и (24.3.3), (24.3.4), так и две группы соотношений, которые еще не были нами получены. В этих формулах обозначают системы переменных, не входящих в выбор знака производится согласно

мнемоническому правилу: плюс ставится перед Формулы (24.3.6), (24.3.7) определяют контактное преобразование при условии, что функция принадлежит к классу в остальном же она произвольна, если не считать требования, чтобы матрица была неособенной (см. § 24.2).

Практически наиболее часто встречаются случаи, когда в качестве переменных х и X берутся или и . В первом из этих случаев преобразование определяется формулами (24.3.3), (24.3.4), которые можно записать в эквивалентной форме

причем (Единственное преимущество формы (24.3.3), (24.3.4), со знаком минус в правой части, заключается в том, что при этом сохраняется соотношение что, конечно, совершенно несущественно в случае, когда преобразование не содержит Во втором случае преобразование определяется уравнениями

причем

С точки зрения абстрактной теории обычно несущественно, в какой именно форме записаны уравнения преобразований. Действительно, различные формы этих уравнений тесно связаны друг с другом. Предположим, например, что мы переходим от переменных к переменным с помощью контактного преобразования, получаемого посредством производящей функции и определяемого формулами

Рассмотрим затем контактное преобразование от переменных к переменным описываемое формулами

Тогда переход от переменных к переменным можно осуществить с помощью производящей функции по формулам

Отсюда легко установить связь между первой группой формул (24.2.7) — (24.2.9) (где производящая функция содержит и последней группой (24.3.10) (где производящая функция содержит и

Сделаем еще одно замечание, касающееся теоремы Гамильтона — Якоби. Мы видели (§ 16.2), что если представляет собой полный интеграл уравнения в частных производных Гамильтона, то решение задачи Лагранжа можно получить из уравнений

Постоянную в правой части мы ранее обозначали через (см. (16.2.4)). Уравнения (24.3.14) показывают, что преобразование переменных в переменные является контактным преобразованием; при этом естественно считать лагранжевой координатой, а — соответствующей составляющей импульса. Если же постоянную в правой части (24.3.14) принять равной то контактным преобразованием будет преобразование переменных в переменные будет играть роль лагранжевой координаты, составляющей импульса. Поэтому, если мы желаем, чтобы правая часть (24.3.14) выражалась координатой, а не импульсом, то мы должны эту постоянную положить равной . В теории движения планет, например, постоянные в правых частях уравнений (24.3.14) обычно имеют смысл углов и естественно считать координатами, а не импульсами; тогда уравнения следует записывать в форме

Нужно, однако, иметь в виду, что при пользовании контактными преобразованиями, по существу, стираются различия между координатами и импульсами. Так, например,

в формулах (24.3.12) «координаты» и «составляющие импульса» представляют одни и те же физические величины.

В этой книге мы будем придерживаться стандартной формы записи теоремы Гамильтона — Якоби (16.2.4):