§ 24.8. Соотношения между двумя системами производных.

Предположим, что область пространства при фиксированном значении t преобразуется в область пространства посредством контактного преобразования. При этом производные от функций по переменным взятые в точке области свйзаны простым образом с производными от функций по переменным взятыми в соответствующей точке области а именно:

Доказательство весьма просто получается из условий для скобок Лагранжа, выведенных в предыдущем параграфе. Пусть любое целое число из последовательности рассмотрим форму Пфаффа

Отсюда следуют формулы (24.8.1). Соотношения (24.8.2) аналогичным образом получаются из равенства

Формулы (24.8.1), (24.8.2) можно вывести простым и изящным образом, рассматривая так называемый билинейный ковариант. Рассмотрим две произвольные вариации точки фазового пространства. Обозначим через и соответствующие вариации преобразованной точки Тогда справедливо равенство

(знак суммы мы для краткости записи здесь опускаем).

Выражения в левой и правой частях равенства (24.8.5) представляют каждое билинейный ковариант.

Равенство (24.8.5) непосредственно следует из самого определения контактного преобразования. Остановимся более подробно на значении символов Рассмотрим двумерное многообразие содержащее точку и векторы Будем определять положение точки на многообразии координатами координаты точки поверхности будут функциями от принадлежащими классу При этом кривая в точке будет иметь направление вдоль а кривая в той же точке — направление вдоль Поэтому перемещение в точке будет иметь составляющие а перемещение баз — составляющие Символы и мы сохраним и для обозначения перемещений в точках х, близких к точке так что формулы будут справедливы и в общем случае. Вариации будем считать раз и навсегда фиксированными, так что Отсюда следует, что вообще, для любой функции от класса С

Теперь легко получить желаемый результат. Пользуясь основным свойством (24.2.5) контактного преобразования, находим

откуда, учитывая (24.8.6), сразу получаем (24.8.5).

Для того чтобы вывести соотношения (24.8.1), (24.8.2) из билинейного коварианта, обозначим через вариацию, обусловленную изменением одной лишь координаты а через вариацию, обусловленную изменением одной только координаты Тогда в каждой части равенства (24.8.5) останется по одному члену, и мы будем иметь

откуда

и

Остальные формулы (24.8.1), (24.8.2) получаются совершенно аналогичным путем.

С помощью билинейного коварианта можно получить также условия контактности преобразования, выраженные нами ранее через скобки Лагранжа (§ 24.7). Если правую часть равенства (24.8.5) выразить черёз а также и то получим

Коэффициент при выражении равен коэффициент при равен а коэффициент при равен Сравнивая коэффициенты при соответствующих выражениях в левой и правой частях уравнения, приходим к формулам (24.7.2).