§ 24.10. Соотношения между скобками Лагранжа и скобками Пуассона.

Предположим, что величины образуют в области фазового пространства систему независимых функций класса от переменных Пусть эти функции осуществляют топологическое отображение области фазового пространства на область пространства и. (Мы здесь не считаем, что это преобразование обязательно является контактным.) Фундаментальное соотношение, связывающее скобки Лагранжа со скобками Пуассона, имеет вид

Доказывается это просто. Левая часть равна

где индекс указывает на суммирование от 1 до индексы на суммирование от 1 до Второе и третье слагаемые в правой части (24.10.2), очевидно, обращаются в нуль, а первое и четвертое дают

Теорема, таким образом, доказана.

Если скобку Лагранжа обозначить через а скобку Пуассона через то равенство (24.10.1) можно будет очень просто выразить через матрицы и со размером с элементами . В матричной форме равенство (24.10.1) тогда будет иметь вид