§ 17.2. Условия разделимости переменных в системах с двумя степенями свободы.

Мы начнем с рассмотрения важного частного случая систем с двумя степенями свободы и ограничимся изучением ортогональных систем, т. е. таких, для которых выражение кинетической энергии содержит только квадраты и не содержит произведений. Прежде всего установим необходимые и достаточные условия разделимости, затем, считая эти условия выполненными, получим основные характеристики возможных при этом движений системы.

Пусть х и у — лагранжевы координаты. Составим функцию Гамильтона

где заданные функции от х, у, предполагается, что эти функции принадлежат классу в рассматриваемой области изменения х, у. Выведем сначала необходимые условия разделимости. Если система допускает разделение переменных, то модифицированное уравнение в частных производных

допускает полный интеграл вида

где а — вторая произвольная постоянная. Таким образом, в рассматриваемой области значений х, а тождественно выполняется равенство

Напишем его в упрощенной форме:

Здесь зависит только от х (а также от А и а), а зависит только от у (а также от h и а). Из равенства (17.2.5) получаем

Индекс 1 в этих формулах обозначает дифференцирование по а индекс 2 — дифференцирование по а. Напомним, что величины положительны при всех значениях они являются коэффициентами в формуле кинетической энергии. Из равенства (17.2.7) видно, что ни ни не могут тождественно равняться нулю, а из равенства (17.2.6) следует, что величины не могут быть одновременно нулями. Кроме того, выражение

не может тождественно равняться нулю, так как сумма представляет полный интеграл уравнения (17.2.2). Возьмем теперь какие-либо подходящие фиксированные значения и а; они должны быть такими, чтобы ни одна из величин не обращалась в нуль при всех значениях х и у, а также чтобы не обращались обе в нуль при всех значениях х и у. Затем решим уравнения (17.2.5) — (17.2.7) относительно Тогда иметь

функции только от х, а — функции только от у. Эти величины не должны зависеть от выбранных нами фиксированных значений для чего и а должны линейно входить в и в дальнейшем мы увидим,что

именно так и обстоит дело. Далее, имеем

Здесь функции также не должны зависеть от принятых значений

Таким образом, если система допускает разделение переменных, то функция должна иметь следующий вид:

где суть функции только от суть функции только от у.

Докажем теперь, что эти условия являются и достаточными, т.е. что система, для которой

допускает разделение переменных. Для такой системы модифицированное уравнение в частных производных записывается в форме

и полный интеграл требуемого вида мы можем получить, положив

Таким образом, получаем полный интеграл

Входящие сюда интегралы интерпретируются обычным образом, например, в первом из них верхний предел равен х, а нижний предел равен абсолютной постоянной или простому нулю функции, стоящей под знаком радикала.

Обращаясь снова к доказательству необходимости, замечаем, что в принятых там обозначениях

что подтверждает формулы (17.2.9) — (17.2.11).