§ 29.14. Плоское движение. Другой способ приведения к системе шестого порядка.

В § 29.8 мы показали, что уравнения движения в задаче трех тел в случае плоского движения допускают понижение до шестого порядка. Этот результат можно получить и другим путем, если исходить из уравнений в форме, приведенной в § 29.10.

Будем предполагать, что центр масс находится в покое и движение происходит в плоскости . В обозначениях § 29.10 будем иметь

где

Возьмем систему осей, вращающихся с постоянной угловой скоростью со вокруг оси Если через обозначить составляющие векторов в этих осях, то можно будет написать

причем формулы для не изменят своего вида:

Последнее утверждение очевидно геометрически и легко может быть проверено непосредственно.

Чтобы составить выражение для функции Гамильтона, нужно в выражении

перейти от с помощью формул

Проделав это, получим функцию Гамильтона в виде

Коэффициент при в правой части равенства,

определяет момент количеств движения относительно точки (см. (29.10.15)). С помощью уравнений Гамильтона легко убедиться, что выражение (29.14.9) сохраняет постоянное значение во все время движения. Этим обстоятельством мы воспользуемся для понижения порядка системы. Аналогичную процедуру мы уже применяли в § 29.8.

Составляющие вектора и во вращающейся системе осей равны Введем полярные координаты с помощью формул

где

Обозначим составляющие вектора параллельную и перпендикулярную к вектору и, соответственно через Тогда будем иметь

Необходимым контактным преобразованием будет расширенное точечное преобразование, определяемое уравнениями

где производящая функция имеет вид

Рис. 122.

Таким образом, уравнениями, определяющими преобразование, будут уравнения (29.14.10) — (29.14.12) и

где через К обозначено выражение Заметим, что

определяет момент количеств движения относительно точки Поскольку контактное преобразование не содержит новая функция Гамильтона получается из старой простым переходом к новым переменным:

Эта функция несколько проще, чем (29.8.13), полученная ранее другим методом.

Далее имеем

Следовательно, функция не содержит Таким образом, остается постоянным в течение всего времени движения, что, впрочем, мы уже видели раньше. Положим

В результате получаем систему шестого порядка относительно переменных и функцию Гамильтона

где теперь К обозначает выражение

После того как система проинтегрирована, оставшаяся переменная — угол находится квадратурой из уравнения